從正三角形開始,正方形、正五邊形、正六邊形都可以尺規作圖(請參看本欄文章:〈從三角形到正方形〉和〈正 5、6、15 邊形之尺規作圖〉)。

本欄已刊李建勳〈反證正七邊形不可能尺規作圖〉,當然足以說明此一正多邊形的作圖之不可能。此處,我們再推薦一個更代數化的方法,證明此一不可能性!

考慮下列方程式

z7 − 1 = 0

其中 z = x + yi 。顯然它的七個根,恰好是複數平面上單位圓內正七邊形的七個頂點。由於

(z − 1)(z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1) = z7 −1 = 0 ,

因此,它的七根除了z = 1之外,其它的六根都是下列方程式的根:

z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1= 0   ………………… (1)

現在,讓我們將 (1) 式等號兩邊同除以z3 ,則可得下式:

z3 + 1/z3 + z2 + 1/z2 + z + 1/z + 1 = 0   ………………… (2)

再進一步作代數變換,又可以得到下式:

(z + 1/z)3 − 3(z + 1/z) + (z + 1/z)2 − 2 + (z + 1/z) + 1 = 0   ………………… (3)

  y = z + 1/z ,則(3)式可以變換成為下列方程式:

y3 + y2 − 2y − 1 = 0   ………………… (4)

另一方面,由於 z 是1的七次方根,所以,它可以表示為下式:

z = cosφ + i sinφ

其中 φ = 360° / 7 。另外,再由於1/ z = cosφ − i sinφ ,因此  y = z + 1/ z = 2 cosφ 。

現在,如果我們可以針對  y (尺規)作圖,當然也可以針對 cosφ 作圖,反之亦然!因此,如果我們可以證明 y 無法作圖,那麼,cosφ 或 z 當然也無法作圖,於是,正七邊形的作圖就不可能了。

最後,如果我們可以證明上述方程式(4)沒有有理根,那麼,我們就大功告成了。現在,假設它有一個有理根,令為 r / s ( r, s 互質),則

r3 + r 2s − 2rs2 − s3 = 0

由此可知 r3 有因數 s , s3 有因數 r 。但是, r, s 可能的公因數必須是 ± 1 ,因此,如果方程式(4)有一個有理根的話,那麼,它不是 +1  就是 -1。這兩個數都無法滿足方程式(4),因此,方程式(4)沒有有理根, y 乃至於 z 當然就無法尺規作圖了。

附註:本文根據 Richard Courant and Herbert Robbins (Revised by Ian Stewart), What Is Mathematics? (New York / Oxford: Oxford University Press, 1996) pp. 138-139 改寫。

 

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http://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2017/02/mtm_logo.jpghttp://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2017/02/mtm_logo-150x67.jpg洪 萬生尺規作圖從正三角形開始,正方形、正五邊形、正六邊形都可以尺規作圖(請參看本欄文章:〈從三角形到正方形〉和〈正 5、6、15 邊形之尺規作圖〉)。 本欄已刊李建勳〈反證正七邊形不可能尺規作圖〉,當然足以說明此一正多邊形的作圖之不可能。此處,我們再推薦一個更代數化的方法,證明此一不可能性! 考慮下列方程式 z7 − 1 = 0 其中 z = x + yi 。顯然它的七個根,恰好是複數平面上單位圓內正七邊形的七個頂點。由於 (z − 1)(z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1) = z7 −1 = 0 , 因此,它的七根除了z = 1之外,其它的六根都是下列方程式的根: z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1= 0   ..................... (1) 現在,讓我們將 (1) 式等號兩邊同除以z3 ,則可得下式: z3 + 1/z3 + z2 + 1/z2 + z + 1/z + 1 = 0   ..................... (2) 再進一步作代數變換,又可以得到下式: (z + 1/z)3 − 3(z + 1/z) + (z + 1/z)2 − 2 + (z + 1/z) + 1 = 0   ..................... (3) 令  y = z + 1/z ,則(3)式可以變換成為下列方程式: y3 + y2 − 2y − 1 = 0   ..................... (4) 另一方面,由於 z 是1的七次方根,所以,它可以表示為下式: z = cosφ + i sinφ 其中 φ = 360° / 7 。另外,再由於1/ z = cosφ − i sinφ ,因此  y = z + 1/ z = 2 cosφ 。 現在,如果我們可以針對  y (尺規)作圖,當然也可以針對 cosφ 作圖,反之亦然!因此,如果我們可以證明 y 無法作圖,那麼,cosφ 或 z 當然也無法作圖,於是,正七邊形的作圖就不可能了。 最後,如果我們可以證明上述方程式(4)沒有有理根,那麼,我們就大功告成了。現在,假設它有一個有理根,令為 r / s ( r, s 互質),則 r3 + r 2s − 2rs2 − s3 = 0 由此可知 r3 有因數 s , s3 有因數 r 。但是, r, s 可能的公因數必須是 ± 1 ,因此,如果方程式(4)有一個有理根的話,那麼,它不是 +1  就是 -1。這兩個數都無法滿足方程式(4),因此,方程式(4)沒有有理根, y 乃至於 z 當然就無法尺規作圖了。 附註:本文根據 Richard Courant and Herbert Robbins (Revised by Ian Stewart), What Is Mathematics? (New York / Oxford: Oxford University Press, 1996) pp. 138-139 改寫。    詳見全文Museum of Mathematics @ Taiwan