前言

克卜勒(J. Kepler,1571-1630)在科學革命時期中,扮演著如伽利略(G. Galilei,1564-1642)一樣的重要角色。一些科學史家更稱:

克卜勒是第一個冒險對天文學的問題,進行嚴密數學處理的人;是在新科學那特有的意義上,第一個確立起自然律的人。

克卜勒是第一位在成功探究自然 律時,發現其藝術性者。”(伯特,1994,p57)

這是因克卜勒所建立、發展出的橢圓定律,及面積定律(1609 年),要較伽利略的落體運動定律(1634 年),早了約 20 多年之久(Koyer,1978)。

他不僅是代表著,科學革命時期著名的思想運動前趨,…尤其是他的描述與研究方法,與晚近科學成功的方法,有許多共同之處。(伯特,1994,p57)

本篇旨在藉他的行星面積定律,簡要地來呈現其開拓性方法與貢獻。

二、哥白尼的日心說-不在精確,而在簡單

Johannes Kepler
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克卜勒與伽利略兩人,皆承認哥白尼(N. Copernicus,1473-1543)為他倆的導師。哥白尼所提的日心說,到底給了下一代的這兩位學子,什麼啟示呢?哥白尼說:

托勒密(Ptolemy)及多數的天文學者的行星理論,雖然與數據符合一致,看起來也未出現什麼困難。但這理論是不合適的,除非他所言的偏心點(equants)確實可被觀察到。他的理論顯示,行星並非以均勻的速度環繞著均輪(deferent)圓心,亦未以等速環繞著本輪(epicycle)圓心。所以,這種系統既非完全地絕對,也無法充分地讓心靈愉悅。 (Hence a system of this sort seemed neither sufficiently absolute nor sufficiently pleasing to the mind.)(Copernicus,1971)

所以,對哥白尼而言,他並非是要提出一更符合觀察數據的理論,而是因他不滿意托勒密理論中,加入了太多人為的「偏心點、均輪、本輪」之概念,而喪失了「均勻性、對稱性、簡單性、與完美性」(哥白尼,1543;伯特,1994;姚珩和黃秋瑞,2003)。

事實上,縱使在今天,利用托勒密方法,仍然可以準確計算出火星逆行的軌跡,並與觀測值相當吻合(如圖 1)。

既然,兩個理論所建立的模型,皆可描述自然現象,但在當時,地動說卻得面臨極大的困擾。那就是:地球若在快速自轉的話,為何天上的白雲與飛鳥,不會被遠遠地拋在後方(Koyre,1978)? 在尚未能解決此問題的時候,為什麼克卜勒是第一位挺身而出,接受、深究哥白尼的理論,並加以發展,終身奉行不渝呢?因為,他認為既

數學…可呈現論證的有序本性,而與整體…相互呼應,…所藉用之簡單的…形式及要素,…是透過對稱性與規則性,緊密地被結合在一起。(Kepler,1619,p7)

也就是說,克卜勒與哥白尼相信“凡在數學上能夠呈現出對稱、和諧與簡單性質的理論,則此理論必為真"(伯特,1994,p52)。至於相關的物理或哲學詮釋,則可待以後再繼續探討、追究。這種不是以哲學的目的論—地球為宇宙的中心,人類靈魂的最終歸宿,是自地球經過月下區、行星層、最後抵達恒星界背後神所居住之處-為天文學的指導,而是完全以數學做為天文學的基礎與指標,開創了全新的科學世界(羅伊德,1984;Duhem,1985)。

三、行星基本運動定律-距離規則

克卜勒完全沿襲哥白尼以數學為最高指導的原則,開啟了天文史上的新研究方法,他的新天文學拋棄了近一千五百多年來所沿用的托勒密理論,而採用了不被多數人所接受的哥白尼模型。但他也沒完全依賴哥白尼的智力權威,他花了五年多的時間,証明出太陽並非如哥白尼所言,是在行星軌道的圓心上,而是在偏心點上。且宇宙的中心不是在各個 行 星軌道的圓心,而是在太陽上(Kepler,1596)。他說:

若隨著行星至宇宙中心(太陽)之距離增減,而形成行星的緩慢與迅速,則運動力之來源必定是落在我們所認為宇宙的中心點上。(Koyre,1992,p196)

如圖 2,行星是以等角速率繞著偏心點 C點,運行於以 B 點為圓心之軌道 DFEG 上,而太陽是在另一偏心點 A 點上(AB=BC)。HK 弧長(正比於 ∠HCK )即行星運行 DF弧長的所需花費的時間;同理 IL 弧長(正比於 ∠ICL )則可表示行星運行 EG 長度所需耗費的時間。經過仔細地推導,他得出了行星運動的基礎原理-距離規則(distance rule):

“行星在行星遠日點與近日點處,行經(HK 或 IL)與行星至太陽的距離(AD 或 AE)成正比。 (Stephenson,1987,p64)

 

此原理是克卜勒行星定律的基礎,利用此規則,克卜勒於 1605 年同時得到了橢圓定律及面積定律(如圖 3)(姚珩和黃秋瑞,2003;Kepler,1609;Wilson,1968)。底下將簡單介紹,他是如何利用距離規則,導出面積定律。

四、距離規則與面積定律

當克卜勒提出距離規則時,事實上這已經等價於面積定律了,因行星與太陽的連線 R,在甚短的 dt 時間內劃出弧長 dC,與面積 dA,如圖 4。則面積可近似為:

 

dA = 1/2 ⋅ R ⋅ dC 或 dA / dt = 1/ 2 ⋅ R ⋅ dC / dt 根據距離規則,速率 dC/dt 與R 成反比,故dA/dt =定值,此即為面積定律。

但克卜勒當時並不知極限與微分觀念,故他自然不是由此簡短步驟得到行星第二定律。

五、橢圓方程式

在新天文學(Kepler,1609)第 59 章裡,克卜勒引用了 Apollonius 之圓錐曲線著作,先列出了一些有關圓 AKEC 與橢圓 AMBC(如圖 3)之定理或命題:

 

命題 1:MLKL = ba,此處 a 與 b 為半長軸與半短軸長

命題 3:橢圓 AMN 面積:扇形 AKN 面積=ba

命題 7:在含焦點 N 之直角三角形,半長軸 a 、半短軸 b 與 離 心 率 之關係為a2 − b2 = a2e2 或 1 − b2 = e2

命題 9:自遠日點 A 起,經圓弧至 K 為止,所含徑向距離(radial distance)KT 長之和,與圓面積 AKN 成比例。

為避免如克卜 勒 所使用的繁雜運算,我們以微積分加以簡化闡述。自A 點到 K 點,所含蓋之所有徑向距離KT 長之和,為

 

此 處 β = ∠AHM 為 離 心 偏 角 (eccentric anomaly),若 HA=1,HNe,圓面積= π ,則面積

AKN = AKH + KHN

= ( β/2π )(π) +1/2 ⋅ HN ⋅ KL

= 1/2(β + esin β )

此面積值恰為徑向距離和之一半。故徑向距離之和,可以橢圓之外接圓之對應面積來表示(Aiton,1969,p84)。

命題 11:徑向距離 KT=焦點 N 至橢圓上 M 點之連線長 NM

KN2 − NM2

= (KL2 + LN2 ) − (ML2 + LN2 )

= KL2 − ML2

= sin2 β b2 sin2β (命題 1)

= (1− b2 ) sin2β = e2 sin2β (命題 7)

 KN 2 − e2 sin2 β = NM2

KN2 − e2 sin2 β = KN2 − NT2 = KT2

NM = KT = 1 + e cos β

 KT = NM 。

不僅如此,橢圓上之任一點 M,至焦點 N 之長度 r,滿足底下關係式:

r = 1 + e cos β

這就是今天,我們所使用的橢圓方程式。它表示了行星橢圓軌跡,可以底下方法來描繪決定(如圖 3):

  1. 任取圓上一點 K,自 K 引垂直線至 AC 軸,交 AC 於 L
  2. 以直線連接 K 與圓心 H,並延長至 J
  3. 自太陽 N 處引垂直線,交 KJ 於 T
  4.  N 為圓心,KT 長為半徑,劃弧,交 KL M,則 M 即為行星橢圓路徑上之點。

在命題 11 之推導裡,很清楚地可看出,克卜勒已使用行星火星至太陽的距離 r,離心率 e,及離心偏角â,三者間之等量關係: r = 1 + e cos β,其中 e 為定數,r 與 β 為變數。這些很明顯的是受了法國數學家 Vieta (1540-1603)的影響,於 1590 年,他是第一位真正地以字母符號來代表一未知量的科學家,他的這種高度之抽象化、普遍化的觀念,被視為數學發展上最重要的里程碑之一(Bell,1945,p120)。克卜勒使用了此深刻概念,協助自己來描述天文運動,將傳統的幾何學內容,擴展變成代數的處理與表示。這種全新的呈現,在物理發展史上是第一次、也是第一人,要比伽利略所提出的落體關係早出許多。

六、面積定律

由命題 9 與 11,遂可得

命題 12:在橢圓內,所有焦點至橢圓上連線距離 NA、NM 之和與對應之正外接圓面積 AKN 成比例 。(由命題 3,也因此與橢圓面積 AMN 成比例。)

克卜勒在此把距離不時變化著的運動-橢圓,與傳統完美的幾何圖形-圓,連接了起來。也將含有物理內涵的距離規則,與底下具有均勻性的面積定律,建立起了特殊關係。

克卜勒最初所言的距離規則(如圖 2),可進一步延伸為:

在圓軌道不同位置上,如遠日點與近日點,行星運轉經過相同弧長所需的時間比,等於在對應弧段下,太陽至行星之 所有連線距離和之比 (The times needed to traverse equal arcs of the eccentric circle are proportional to the distances.)(Aiton,1969,p79)。

也就是,並非以單一距離長度來代表所費時間,而是以距離和來代表。此外,我們須了解,至此距離規則一直僅用在圓周軌道上。在發現行星之軌道不是圓後,為了要與觀察吻合,克卜勒在第 59 章裡將此規則,作了修正(如圖 5):

 

行經對應相同圓弧長,如 PO、OQ、RS、ST,下的橢圓路徑,如 PC、CF、RG、GH,所花費的時間比,等於太陽至相對應橢圓區段上,行星之所有連線距離和之比。(The time is measured by the sum of the ellipse distances relating to equal divisions of the eccentric. )(Aiton,1969,p86)

因此,最後由命題 12 與此修正之距離規則,便完成與得到了有名的行星第二定律:

命題 14(面積定律):行經橢圓路徑 AM 上每一點至焦點之連線距離和,或所需花費的時間,可由橢圓面積 AMN 來表 示(如圖 3)。( The sum of the distances for the ellipse path AM, and hence the time is measured by the ellipse area AMN.)(Aiton,1969,p87)

綜合以上,可簡言之,克卜勒是以底下程序,來建立其面積定律:

橢圓面積↔連線距離和↔行經橢圓路徑所需時間。

大約十年之後,克卜勒在哥白尼天文學序論(Kepler,1618)的著作裡,用了另一種較嚴謹的方法,描述了可用在橢圓軌道上之改良更新後的距離規則:

行星運轉所需時間,正比於它至太陽的距離,因各弧長在與徑向垂直方向上之分量均同。(The times or delays will be proportional to distance from the sun, for arcs whose component perpendicular to the radius from the sun are the same.)(Stephenson,1987,p163)

這是當所取面積相對小的時候,在橢圓軌道上,任一相等弧段,所對應之橢圓區域,或近似三角形裡之高度(或與徑向垂直方向上的分量)相等(如圖 6,意謂 PCCMRGGN)。所以由改良更新的距離規則,劃過此弧長所需的時間,與至太陽之距離成正比,因此,亦與含蓋此橢圓區域的面積成正比。即

tPC : tCF : tRG : tGH

=PA:CA:RA:GA

=PCA:CFA:RGA:GHA

故以面積來代表時間是適當合理的。(Therefore it is quite justifiable to take the area as a measure of the time.) (Aiton,1969,p87)

也就是說,面積是跟著時間穩定地在改變,或面積時變率恆定不變,這也保留下來了另一種之均勻性(uniformity)的要求,所以克卜勒視此定律為他最鍾愛之原理。

在上述的描寫中,已略可看出,克卜勒心中已漸浮現出無限小與積分之概念和方法了。亦即,他將足夠小的不同橢圓區域所劃過之弧長,近似為相等。他最後還曾如此提及:

行星與徑向垂直的速度分量,反比於它至太陽的距離。(The component of the velocity perpendicular to the radius vector is inversely proportional to the distance from the sun.) (Kepler, 1618;Aiton,1969)

這幾乎就是在預言第四節中所言:行星速率的垂直分量 dC/dt,與行星至太陽距離 R成反比。這種幾何與代數的合成方式,及背後所隱含的極限觀念,顯然已在天文學中,開啟了新的研究方法。

七、結論

克卜勒視太陽為宇宙之中心,但它不在諸行星軌道之圓心,而是在軌道的偏心點上;他並以太陽所發射之光芒與動力,是一切天體運動之成因,形成了行星運動的基本原理-距離規則。由此,不但得到了天文學上第一個新數學關係-橢圓的代數方程式 r = 1 + e cosϕ 。並以它來清晰地描述行星運動的軌跡,且再藉著鍥而不捨的運算、推導,創立了面積定律-太陽與行星連線所劃過的面積,其變化是均勻的。維持了哥白尼所期望的數學均勻性。

克卜勒的論證與運算,呈現出與托勒密完全不同的面貌,它不是用天文學來配合哲學的目的論,而是全部以數學方法,並僅在數學之中,及自數學推導出的相關動力學觀,來建立起天文體系。這種新方法,啟發了牛頓,及世世代代的眾多科學家,一直沿用至今。

參考文獻

1.伯特 (Burtt, E. 1994):近代物理科學的形而上學基礎。成都市:四川教育出版社。

2.哥白尼 (Copernicus, N. [1543] 2001):天體運行論。武漢市:陜西人民出版社。

3.姚珩、黃秋瑞 (2003):克卜勒行星橢圓定律的初始內涵,科學教育月刊,第 256 期,第 33-45 頁。

4.羅伊德 (Lloyd, G. 1984): 亞里斯多德思想的成長與結構。台北市:聯經出版社。

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10.Kepler, J. ([1609] 1992). New astronomy. New York: Cambridge University Press.

11.Kepler, J. ([1618-21] 1952). Epitome of Copernican astronomy: Books IV and V. Chicago, IL: Encyclopaedia Britannica.

12.Koyer, A. (1978). Galileo studies. Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press.

13.Koyer ,  A. (1992). The astronomical revolution Copernicus-Kepler-Borelli. New York: Dover Publications, Inc.

14.Stephenson, B. (1987). Kepler’s physical astronomy. New York: Springer-Verlag Inc.

15.Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis 59, 5-25.

 

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