民族數學在台灣
當探討數學與文化間的關連時,民族數學(ethnomathematics)的研究是一個相當重要的課題。去年八月二十二~二十九日在西班牙薩拉戈薩(Zaragoza)所舉辦的第十九屆國際科學史研討會,民族數學也被當成一個小組討論的議題(Ethnomathematics, ethnoscience and the recovery of world history of science),由巴西的 Ubiratan D’ambrosio 和莫三鼻克的 Paulus Gerdes 共同主持。其目標是經由數學史及科學史之研究取向,表達對民族文化自主及多元文化的關懷。本文的主要目的即是簡單介紹所謂的民族數學;並從《東京人類學會雜誌》上摘譯伊能嘉矩先生所撰述的〈台灣土蕃の數の觀念〉。希望藉由「原住民對數的掌握」這樣的題材,來看看屬於我們自己的民族數學。
民族數學
什麼是民族數學呢?根據 M. C. Borba 的說法,所謂的民族數學就是「特定文化族群所表現出來的獨特數學概念」。值得注意的是,在其這裡的「ethno」和「mathematics」應該用更宏觀的角度來考量。「ethno」不再如過去般僅僅代表生物性的「種族」,而是意指「文化族群」。此外,舉凡做算術、歸類、排序、遞推、統計等等一系列的活動都可稱為「mathematics」。在不同的時代、不同的地點,人們由於生活的需要,或者為了對周遭的現象尋求解釋,會隨著各自的文化環境,發展出一套解決問題的工具、技術和理論。由於長久以來,科學史上一直存有以歐洲為中心的特性;在歐洲思想獨領風騷的氛圍下,民族數學往往會被誤解為是下品的、第二流的數學,而不是不同文化背景所體現的數學概念。這正是今日科學教育家所欲極力導正的觀念,因為不同民族的文化遺產都值得珍視,也是後代子孫的寶藏。
以下就是伊能嘉矩先生所著的〈台灣土蕃の數の觀念〉(1906、1907)一文之部分摘譯。
台灣原住民的數的觀念
泰雅族
台灣北部山中居住著泰雅族人,可分為東西兩部族。茲把東西二部族數詞間的差異略述如下:
一、東部部族:數詞從一至一千。最高的固定數詞到百為止,並且從六十到九十及一千這幾個數詞,都有合成語的現象。六十以上的十位數只需在單位固定數語後添加十。此外,在六和八這兩個固定數語,也都有合成語的痕跡。亦即六是把三置於後,前面加上一個表示複數的「Ma」(同理,八即是 Ma-Sepat=4×2)。
二、西部部族:數詞從一至一萬,固定數詞甚至可達萬。並且從六十到九十及一千這幾個數詞,也都有合成語的現象。六十以上的十位數語在單位固定數語後添加表示十倍的語詞「Pongan」。
三、綜合說明:東西兩部族語應都根源於馬來語系。此外,數的計算法相當簡易,例如,二十一的表示法就是二十後面加上一,數語和數語之間並沒有加減等助詞的連接。可是雖然數的觀念很發達,但實際的操作卻還是從一到十反覆的計算。當每計算一回十時,便運用石塊木片等記識,例如石塊有四個而餘數為五時,就計算為四十五。在抽象的計數方面,則是利用雙手,先從一隻手的拇指開始,依序數至小指,再換另一隻手如法計數。如果表示以十為單位時,就張開兩手,然後一起翻回。兩個十,那麼就是二十了。世界上很多地方都有指算法,馬來語系就常把手和五當同一件事。在西部部族,五也有「拿」的意思,這是因為拿東西時必須屈折五指,就與計數五時一樣。
附帶在計數法一提的,是度量衡思想發展的程度。就尺度的觀念而言,因為和中國人交換布匹等緣故,所以使用了三種標準,即(一)指極尺(伸長兩手時,指極之距)、(二)半指極尺(一手伸直,從前胸的中央到指極之距)、(三)手指尺(拇指至食指之距)。但是量衡的觀念就比較缺乏,和中國人交換米鹽之時,往往用所戴的帽子裝盛,而有特定的交換物。或者用手比較物品的輕重。在數目的記載上則不十分發達,繩結是表示法之一。
這裡也有關於奇數的迷信,因為奇數就是難等分的數,稱之為「Megijin」;相對的,偶數就稱之為「Ine-Megijin」,其中「Ine」為否定助詞。例如準備要出征獵殺人頭時,預先出發站在路旁傾聽鳥聲以占卜吉凶的一行人數,也避諱奇數,一定要二人或四人等。
對於無限多數,人類常用生活伴隨的事物來形容,譬如日本人就用「濱之真砂」(譯案:似中文「恆河沙數」之意)來表示。同理,對生活於深山林內的台灣原住民而言,就用「像樹上的葉子那樣多」來形容很多很多。
布農族
台灣中央山脈的中心是玉山,在其北東兩面的支翼中居住著布農族。此族有數詞從一至一萬,最高的固定數詞到百為止,並且一千及一萬這兩個數詞,都有合成語的現象。而對於十這個數詞,有時常在語尾添加助詞「An」來表示某種作用,例如表示「十個蛋」的時候,就常稱為 Massa’an(十)Vurun(蛋)。至於千和萬這兩個數詞為何有合成語的現象呢?那就是在百這個數詞加上形容詞來合成。一千就是 Siava(百)Raingaz(大)。而一萬就是 Mokana(較多)Siava(百)Raingaz(大)。
表示十以上的數語,是根據重數法。共有兩種稱呼的方法:一種是直接由兩個數詞合成,例如二十為 Rusa(二)Massa’an(十)。第二種是在兩個數詞間加入一個助詞,例如十一為 Massa’an(十)Kan(加)Tasia(一)。
綜合說明:以上的數語應亦根源於馬來語系。
雖然數的觀念如此發達,但實際的操作卻還是普通的計數法,從一到十反覆的計算。每計算一回十,便運用繩結或石塊木片等記識,如果繩結五個而餘數為五時,就計算為五十五。在抽象的計數方面,主要是利用左右的手指,有時也會用到左右的腳趾。先從左手的拇指開始,依序數至小指,即從一到五的數,然後換右手如法計數,是六到十。腳趾也是按照同樣的順序。在布農語系中,手、拳和五有相同的語根。
附帶在計數法一提的,是度量衡思想發展的程度。就尺度的觀念而言,因為和中國人交換布匹等緣故,使用了三種標準,即指極尺、半指極尺、手指尺。但是量的觀念就幾乎缺乏,只到初步階段。煮飯的時候,用一種藤製的圓籮,按照人數多寡的比率,裝盛定量的米粟。而出現衡的痕跡是在和中國人交換物品時,用手比較物品的輕重。數目的記載不十分發達,繩結是表示法之一。
另外,在交換所與中國人交換物品時,會使用一種符號記數法。那就是,準備好長約七、八寸的小竹片,每當原住民帶來物品,就記載下代表該物品數量價格的符號。例如,帶來一頭鹿就記為五個圓,三個圓代表一隻豬。而如果帶來是鹿皮時,就按照大小,每張用三條至六條的橫線表示。經累積計算後,有固定的交換物品額。這種情形,和經濟學上所謂的固定貨物交換比例有些類似。
曹族
在台灣中央西部的山地,就是玉山的西方支翼阿里山中居住著曹族。此族有數詞從一至一萬(部分族人至千),最高的固定數詞到千(部分族人到百)為止,而萬(部分族人為千)乃係合成語。固定數詞為一到十,以及二十,三十,….九十,百和千等二十個。在這些數語中,從三十,四十到九十等七個數詞,是現用的固定語,但有合成語的性質。讓我們從語詞的組織來看:Tommun 這個詞是表示單位數的十倍(a×10),例如:80 為 Tommun’Voruhe,另外一萬為 Masske(十)Posipou(千),一千為 Masske(十)Siere(百)。在十以上的數語表示方面,是根據重數法。就是在數詞間加入一種助詞,例如十一為 Masske(十)iyao(加)tsune(一)。
綜合說明:曹族的數語應亦根源於馬來語系。
雖然數的觀念如此發達,但實際上普通的計數法為從一到十反覆的計算,如果進行三次,就稱為三十。另外在抽象的計算方面,則是先從一隻手的拇指開始,依序數至小指,即從一到五的數,然後換另一隻手如法計數,是六到十。在曹族語系中,手稱為 Rimo-tsu,而五是 Rimo,在其後添加的 tsu 或許就是 tsune(一)的省略。因為手有五個手指,所以有「五的一回計算」的意思。另外附帶在計數法一提的是,度量衡思想發展的程度。因為自古就和中國人往來交換布匹,所以尺度的觀念相當進步。其使用了兩種標準,即指極尺、手指尺(拇指和中指的距離)。但因有累算的觀念,故在其基準下添加數詞。所以在指極尺中就有 1 指極、2 指極……10 指極等特殊的稱呼。手指尺亦然。
但是量衡的觀念就幾乎沒有,量的知識只到初步階段。煮飯的時候,用一種藤製的圓籮,按照人數多寡的比率,裝盛定量的米粟而已。而出現衡的痕跡,不過是在和中國人交換物品時,用手比較物品的輕重而已。數目的記載雖然不十分發達,繩結是表示法之一。
另外,還有一種計算出納的情況。曹族有把房子的一部分劃分為貯穀所之風氣,由於迷信,貯穀所的窗戶平時都是緊閉的,不得隨便開啟。而窗外有數條截短的茅草細莖,莖的末端有的打結,有的沒有。茅莖的總數就是貯穀所內部儲存的粟穗束數。收成之初,先在細莖的下方打結,每當取出一束粟穗就割去一條細莖的結節,這樣,由茅草的數目,我們既可知道儲存了多少的糧食;看看尾端剩下的結數,我們也可計算現存的束數和消耗量了(既不至於違背迷信,又不至於無故亂開窗戶)。
魯凱族和排灣族
在台灣的南部居住著魯凱族和排灣族。因為血源相近,固有語言也很一致,為方便起見,我們放於同一節說明。這兩族有數詞從一至一萬,最高的固定數詞到千為止。萬這個數詞為合成語。固定數詞為一到十,以及百和千等十二個。在十以上的數語表示方面,都是根據重數法。共有兩種稱呼的方法:一種是直接由兩個數詞合成,例如魯凱族的二十為 Rusa(二)Puro(十),排灣族的一萬為 Ta-Purok(一十)Kuzuren(千);第二種是在兩個數詞間加入一個助詞,例如魯凱族的十一為 Ta-Puro(一十)Kato(加)Ita(一),排灣族的二十一為 Rusa-Purok(二十)Uzaya(加)Ita(一)。
綜合說明:魯凱族和排灣族的數語應亦根源於馬來語系。
在抽象的計數上,主要是先從一隻手的小指開始,依序數至拇指,即從一到五的數,先伸展手指,依序彎曲,然後換另一隻手如法計數,是六到十。在魯凱和排灣的語系中,五是 Rimo,也有手的意思。
就度量衡的發展而言,兩族皆受到中國人的影響,特別是排灣族中居住在極南丘野中的 Parizarizao部族,有進步的經濟概念,開始使用含有中國風味複雜的度量衡。然而,往時兩族和中國人交換布匹時,僅採用了三種標準而已,即指極尺、半指極尺及手指尺。附帶一提的是,排灣族中的 Parizarizao 部族,因為自古就與中國人往來,所以熟知貨幣使用,也明白如何計算;而且對於錢的單位,也有相對於漢人「一厘、一錢、十錢(一角)、一圓」等特殊的稱呼。
在數目的記載方面,算日的知識仍嫌不足的部族,則有繩結表示法。另外,在魯凱族,曾出現人口的計算。這是因為清光緒元年(1875),中國政府為了開山撫助原住民,派遣了原住民的壯丁屯兵開墾,並給與俸祿。這樣一來,酋長就必須記憶部下的個數。於是便把與人數相同的草莖綑成一束,隨著人員的損益予以增減,作為記籍的代用。至於數與迷信的關係,Parizarizao 部族中漢化程度高的人,日常生活常混有漢人的思想。本來漢人在婚姻完聘時,從男方送往女方家的聘物一定要偶數。排灣人餘沿襲此風,贈聘銀幣的時候,如果遇到一圓三圓五圓等奇數額時,就會再添中國的小錢一文,當作形式上的偶數來贈聘。
卑南族
在台東平野的南部居住著卑南族。此族有數詞從一至一萬,最高的固定數詞到千為止。一萬這個數詞為合成語。固定數詞為一到十,以及二十,三十,…,九十,百和千等二十個。在這些數語中,從三十,四十到九十等七個數詞,是現用的固定語,但有合成語的性質,觀察其語詞組織,自然就可以明白。例如 Maka 這個詞有表示單位數的十倍的意思,像七十就是 Maka-pitu(7×10),Maka-waro(8×10)為八十,九十就是 Maka-iwu(9×10),至於一萬這個數詞就是由累加十回的千的意思所合成。10000……Mokttop(十)Korul(千)。
卑南族數的分類是從一到十為一界限,接著是十一到二十,但十一到十九屬於最高數二十的分子數;二十一到二十九屬於三十的分子數;以此類推,九十一到九十九屬於百位數的分子數。然後按照數界進行計算。大體上有兩種方式:第一種是十一到十九的計數,即加上一種助詞,例如十二為 Mokttop(十)Misama-ra(剩)Rua(二)。第二種就是二十一到二十九的計數,以及以上各數界的計數。請看下面的例子:
二十一就是 Makapta’an(二十)-mikamaka’tatorun-ra-Sasaya(一)三十一就是 Makatorun(三十)-mikamaka’paputul-ra-Sasaya(一)
……
九十一就是 Makaiwa(九十)-mikamaka’sararuman-ra-Sasaya(一)
綜合說明:卑南族的數語應亦根源於馬來語系。
在抽象的計數上,則是先從一隻手的拇指開始,依序數至小指,即從一到五的數,先伸展手指,依序彎曲。在卑南族的語系中,五是 Rima,也有手的意思。
就度量衡的發展而言,由於受到中國人的影響,和漢人買賣之際,有「一尺、五寸、一丈」和「一合、一升、一斗」等單位。另外在尺度上也有指極尺、半指極尺及手指尺三種基準。
在數目的記載方面也有繩結表示法和物品交換的計數。附帶一提的是,因自古就與中國人往來,所以熟知貨幣使用,也明白如何計算;而且對於貨幣的種類,也有方孔小錢(相當於厘)、小銀幣(相當於角)、大銀幣(相當於圓)等稱呼,另外還有銅幣(相當於錢)。也知道方孔小錢十個和銅幣一個等價。
阿美族
在台東平野的南部、中部和北部居住著阿美族。此族有數詞從一至一萬,固定數詞為一到十,以及百和千。一萬這個數詞為合成語。另外在十的前面添加 Ma 也有表示複數的意思。阿美族把數區分為不同的界限,一到十為基數;十一到十九屬於在二十位數的分子數;二十一到二十九屬於在三十位數的分子數;以此類推,九十一到九十九屬於在百位數的分子數。然後按照數界進行計數。大體上有兩種方式:第一種是像二十或一萬的合成形式,二十為 Tusa(二)Puro(十),一萬為 Ma-puro(十)Vot(千);第二種就是二十,三十甚至到一百重位數界限內的分子數。要表示這些數就是先有一個固定數語,然後在 固 定 數 語 後 加 上 分 子 數 的 單 位 。 固 定 數 語 可 分 為 二 十 位 數 Savao, 三 十 至 九 十 位 數 Sika, 百 位 數Sika-Makatap。請看下面的例子:十一就是 Savao-Tsatsai(一),表示「二十位數界內的一」。而二十一就是 Sika’toro(二)-Tsatsai,表示「三十位數界內的一」。
綜合說明:阿美族的數語應亦根源於馬來語系。
在抽象的計數上,則是先彎曲小指,依序彎曲至拇指,這是一到五的數,然後再從拇指開始伸展,依次至小指,表示到十。另外也利用木竹片、小石塊等來幫助計算。
就度量衡的發展而言,因受到中國人的影響,和漢人買賣之際,也沿用中國的稱呼。另外在尺度上也有指極尺、半指極尺及手指尺三種基準。
就數目的記載方面也有繩結表示法。附帶一提的是,同族中的一部,因為與中國人往來,不但熟知貨幣使用,也明白如何計算;而且對於貨幣的種類,也有方孔小錢(相當於厘)、銅幣(相當於錢)小銀幣(相當於角)、大銀幣(相當於圓)等稱呼。也知道方孔小錢十個和銅幣一個等價。
平埔族
為了方便起見,我們把台灣的平埔族分為:保存原狀的平埔族和漢化的平埔族來敘述。
保存原狀的平埔族
居住在北西部山中的一群,稱為賽夏族。此部族有數詞從一至一萬,最高固定語至百為止。千和萬這兩個數詞,為合成語。固定數詞為一到十,以及二十,三十,…,九十到百等十九個。在這些數語中,七、八和三十,四十,五十,六十,七十,八十,九十等九個數詞,是現存的固定語,但有合成語的性質。讓我們從語詞的組織來看:七有六加一的意思,八是四的前面加上 Maika,有複數(4×2)的意思。而三十,四十,…到九十這些數語都在前面加上 Mon,表示單位數的十倍(a×10)。以上的數語應亦根源於馬來語系。另外在十以上的數語表示方面,是根據重數法。請看下面的例子:十一為 Ranpon(十)Ahha(一),一千為 Ranpon(十)Kavahol(百)。但是表示萬時就比較特別,其為 Kavahol(百)Ranpon(十),就是(10×100)的意思。
漢化的平埔族
我們可由居住處區分為十部族,但只有帕塞黑族和克瓦朗族能保有本族的固有語,其他諸族完全失去固定語。漢化的平埔族由於受到漢民族的影響,數的觀念相當進步。
現在讓我們介紹帕塞黑族和克瓦朗族。
一、帕塞黑族:此部族有數詞從一至一萬,最高固定語至千為止。萬這個數詞為合成語。固定數為一到十,以及百和千等十二個。在這些數語中,六、七、八、九四個數詞,是現存的固定語,但有合成語的性質。讓我們從語詞的組織來看:六是五加一的意思,6=Hasuv’za=Hasuv-iza(5+1);同理,七有五加二的意思,八是五加三,而九是五加四。在十以上的數語表示方面,是根據重數法。例如十一就有十加一之意。
二、克瓦朗族:此部族有數詞從一至十萬,最高固定語至千為止。萬、十萬這兩個數詞為合成語。固定數為一到十,以及百和千等十二個。在十以上的數語表示方面,也是根據重數法。但有兩種稱呼的方法,一種是如二十、萬和十萬,是直接由兩個數詞合成,表示沒有單位的數,例如:二十為 Rusa(二)Haptin(十),一萬為 Haptin(十)Rararan(千),十萬為 Hasivu(百)Rararan(千)。
第二種是在兩個數詞間加入一個助詞,表示有單位的數,例如十一為 Haptin(十)Keyano(剩)Risi
(一)。
後記:筆者末學後進,不揣淺陋地節譯這篇文章,主要是希望能拋磚引玉,讓民族數學的研究與原住民文化得到應有的重視與關懷。本文之得以完成,要感謝師大數學系洪萬生老師提供相當寶貴的資料(該文由許進發學長訪得),以及師大物理系蘇賢錫老師在日文上所給予的指導。在此向兩位老師致上最高的謝意。
參考資料
- 伊能嘉矩 〈台灣土蕃の數の觀念〉《東京人類學會雜誌》
第二百四十三號 明治三十九年六月二十日發行;
第二百四十五號 明治三十九年八月二十日發行;
第二百四十七號 明治三十九年十月二十日發行;
第二百五十號 明治四十年一月二十日發行;
第二百五十五號 明治四十年六月二十日發行;
第二百五十七號 明治四十年八月二十日發行;
第二百五十八號 明治四十年九月二十日發行
- Borba’MarceloC., Feb. 1990, “Ethnomathematics and education”, For the Learning Mathematics, 10 (1), FLM Publishing Association, Montreal, Quebec, Canada.
- D’ambrosio’Ubiratanand Gerdes’Paulus, “Ethnomathematics, ethnoscience and the recovery of world historyof science,” 收入 J. Dhombres, M. Hormigon & E. Ausejo eds., Symposia Survey Papers-Plenary Lectures of the XIXth International Congress of History of Science (Zaragoza, August 22-29, 1993).
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