何謂數學?保羅・拉克哈特現身說法,利用本書來解說他的答案:數學是一門研究模式的科學(science of pattern)。

不過,想要回答此一問題,我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程,到公元前 500 年左右,所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例,數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然,它的內容以實用為依歸,至於方法則依循「食譜」的特色:「對一個數目這樣做、那樣做,那麼,你將會得到答案。」

從大約公元前 500 年到公元 300 年間,是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學,而且訴諸於嚴密推理與形式證明,以建立牢固的數學知識結構。因此,對於古希臘人而言,除了研究數目之外,數學主要是有關形狀的一門學問。

儘管如此,到十七世紀為止,數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地,牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中,引進處理運動和變化的方法之後,數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行,乃至於動植物的生長等等自然現象。因此,在這兩位發明微積分的偉大數學家之後,數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。

不過,大約十八世紀中葉之後,有感於微積分的無遠弗屆威力,數學家著手瞭解其背後的原因究竟,從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是,古希臘形式證明的傳統,捲土重來掌握了優勢。因此,到了十九世紀末為止,數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。

在最近的四十年間,數學家對於「何謂數學」之說法,則一如前述:數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出,數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的週遭世界,或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支,譬如說吧,幾何學研究形狀的模式;微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式,正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。

針對幾何學研究,拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身,不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式(vocal pattern)。幾何的中心問題,是抓住這些模式並做出量度 — 這些數本身,也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中,作者引進微(積)分方法,部分原因顯然出自對比(量度)方法論的考量。請看拉克哈特如何說明:「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式,來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住,然後做分割;十七世紀的方法則是任它四處跑,觀察它的變化。」儘管如此,他在說明如何「量度」圓面積時,還是指出古典方法(如窮盡法)的深刻動人:「我們做的近似值並不只是少少幾個,而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境,一次比一次接近,而從這些近似值可以看出一種模式,告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說,透露出某種模式的無窮多個『慌言』(lies),竟能告訴我們真理。」

對於拉克哈特來說,模式之為用大矣!在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時,拉克哈特強調:「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題;我們甚至可以說,這是這門藝術的本質—聽從模式,來調整自己的定義和直觀。」

我希望上述簡短的說明及引述,多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上,作者罕見的敘事功力,讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識,譬如在說明餘弦定律的意義時,拉克哈特就指出:「這個公式告訴我們一件事:角度與長度彼此沒有直接關係;角度必須透過餘弦,來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師,代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界,說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色,把角度的語言轉換成長度語言。」

我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意,但是,下半部分的比喻,恐怕就不那麼容易想得到了。

其實,拉克哈特針對證明 vs. 敘事,也有著十分精彩的比喻:「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色,故事情節則由你決定」 這是因為「就像任何一篇文學小說,我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上,這表示情節不僅要合乎邏輯,還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路,但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」

總之,本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》,十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而,對比前書的教育改革之基進主張,本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學(尤其是古希臘幾何學),不過,其論述之直指核心,以及敘事之詩意想像,都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此,我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書,當你有機會閱讀本書時,你一定會發現:原來數學可以這樣學習!至於一般讀者呢,接觸本書一定可以體會:你在過往的數學知識活動中,究竟錯過了什麼!

 

書名:這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅 (Measurement)

作者:保羅‧拉克哈特 (Paul Lockhart)

出版社:經濟新潮社,台北市

出版年:2015

出版資料:平裝本,414 頁

國際書碼:ISBN 978-986-6031-66-3

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