一、引言

所謂數學敘事(mathematical narrative),是指用以溝通或建構數學意義的一種敘事(narrative)。在本文中,所謂的「數學的敘事理解」,是指藉由比喻(metaphor)的引進,數學與敘事的結合所引發或促進的數學理解。因此,如果我們打算將這一類工具引入教學現場,那麼,實施的對象或時機就要稍加考量。比如說,在制式的(conventional)學校教學中,這一類的工具比較適用於學生學過正規的教學內容之後,教師打算鼓勵學生進行更深層次的反思,或者為正規評量弱勢的學生尋求補救的機會。另外,在大學的數學通識課程中,也非常適合用來進行學習評量。

在本文中,我打算介紹一個有關數學敘事的教學評量工具 – 一份問卷,它通常被我使用在台大數學通識課程 –「數學與文化:以數學小說閱讀為進路」之中,作為第二週的課後作業。由於這一門課程的教學目標,是藉由數學小說(mathematical fiction)的閱讀來學習數學,因此,數學(敘事)素養的提升,當然是主要的教學關懷。

至於為何引進此一工具呢?在一方面,由於該課程的教學策略,是鼓勵學生進入(指定閱讀的)數學小說的故事情節中,挖掘它們所連結的數學知識活動,以便體會數學多元面向的價值與意義。另一方面,此一工具所涉及的圓冪定理,是國中數學課程的幾何核心內容,一般學生都應該曾經十分熟悉才是,還有,我們所設計的提問也呼應了這一門課的規劃初衷。根據我的課程大綱,這一門課程是希望藉由數學與敘事的結合,引導學生:

  • 認識數學思維的本質,以及它的可親近性 (accessibility)。
  • 從數學小說(與電影)中,探討數學概念或方法如何被呈現。
  • 探討數學概念成為文化(或文學創作)的隱喻 (metaphor) 時,數學與文化彼此的相互影響。

因此,針對已有的數學知識 — 譬如圓冪定理的證明 — 之反思(reflection)能力,是這一門課程對於學習成就的期許。

二、學習評量工具

現在,請參考我的工具(問卷)如下:

主題:數學的文學比喻

*繳交日期:
姓名:
系級與學號:
同組同學:

回想國中數學,試證明下列定理:

給定圓內一點P,通過P 點任意畫一條弦 AB,則 PA×PB 為常數或定值。

If through a point P inside a circle a chord AB is drawn, the product PA×PB is constant.提示:通過 P 點另作任意一條弦 CD,證明 PA×PB = PC×PD 。

  1. 針對這個定理,毛爾在他的《畢氏定理四千年》評論說:
    “[Again] we have perfect democracy: every chord has the same status in relation to P as any other.(這真是又一次地完美的民主體現:對 P 點來說,每條弦全然平等,不分孰高孰低。)
    請問:這一比喻(metaphor)與此一定理的內容(content)有何關係?試簡要說明之。
  2. 此一定理的證明過程如何有助於你對於他的比喻之理解?試簡要說明之。
  3. 反過來,他的比喻對於此一定理的證明與意義是否有所幫助?試說明之。
  4. 你在過去的(數學)學習經驗中,是否曾經遭遇過類似的問題?如有,是哪一類的學習情境(譬如學校上課)?請說明之。

相對來說,在上述四個提問中,第 1 題有比較自由的發揮空間,儘管我所附的提示應該有助於學生的說明。事實上,這個提示意在指出數學(方法)的確實掌握,才能更加深刻理解相關的(文學)比喻, 因此,我設計了第 2 個提問。至於第 3 個,則是反過來考察(恰當的)比喻是否增進我們對數學知識的理解程度。至於第 4 個提問,則是希望掌握學生過去的數學經驗,以便可以幫助我們詮釋學生作業時的參考。

在 2014 年 7 月,我曾為教學碩士班的在職進修國、高中數學教師(任教年資至少五年),講授六堂數學史課程。第一次上課的第一節課一開始,我即邀請他們填寫此一問卷的第 1、2 題,其中,第 1 題的英文句子未附中文翻譯。在十五份回收問卷中,有十三份的回答都能切中要點,其餘兩份則未曾對比喻進行深入的討論。無論如何,這份問卷對數學經驗相當豐富的數學教師來說,具有可靠的「專家效度」,換句話說, 這是一份合理的數學問卷。我們且參看其中一位老師的回答:

  1. 每一條通過P 的弦都有相同的情況,就好像定理的內容中提到的 PA×PB為定值。將之比喻為完美的民主,可視每一條弦為每一個人民,在同一個國家內都有相同的地位、權利。
  2. 在證明的過程中,除了AB 這條弦之外,我們有又另做了一條弦 CD,利用證明這兩條弦和 P 之間會有 PA×PB = PC×PD 的關係,推得此定理。在證明過程中這兩條弦都是任意畫出的,表示每一條通過 P 的弦都會有相同的關係,呼應了這個比喻。

三、學生的回饋

2014 年秋季班,我在台大的通識課程「數學與文化:以數學小說閱讀為進路」中,要求學生回答此一問卷當成家庭作業。在回收的 32 份(有些同組學生共寫一份)作業中,我引述其中三份,其中一份是由兩位大一學生(同組)所提交。當然,這三份問卷的填寫者都提供了該定理的證明。她們的回答依序如下:

  1. 我們認為圓就像是一個完美民主框架下的政體(國家),P點就像是其中的人民(People),而無數的弦就可視為林林總總的政見,通過人民的同意後(弦通過 P 點),都能產生相同的結果(PA×PB=定值),也就是完美的民主(圓)。
  2. 證明過程讓我明白P 點與任意弦所構成的關係是相同的結果,都可以是PA×PB 成為一個固定的值,透過它可以對毛爾的比喻有些初步的概念。
  3. 毛爾用與我們切身相關的事物,也就是現在大多數人追求的民主,來對這個定理作比喻;用我們普遍的價值信仰來闡述這個存在於世上很久的道理,賦予了它實質上的意義。而這也是數學小說的表現手法之一,用一個淺顯易懂、平易近人的比喻,來套入數學的知識,使閱讀的人能夠更加清楚當中運用的數學,進而了解作者想闡述的意思。簡而言之就是,與其直接介紹這是哪一個數學定理,不如用貼近生活的比擬,來幫助讀者記憶和接納。
  4. (從略)。

在上引這兩位學生的第 4 題的回答中,談到她們高中學習河內塔的經驗。當年,她們(高中不同校)之中的一位數學老師引進有關河內塔問題的傳說,讓她們留下了難忘的印象。緊接著,讓我們請參看一位大三學生的回答如下:

  1. 這句話特別突顯了民主中的平等價值(“democracy”… “the same status”)和定理中圓上其他點和 P 的關係巧妙相關。不論是哪條弦,以 P 為分界的兩段相乘必定和另一條弦的那兩段相乘一樣。簡言之,不論線段          是長或短或屬於哪條弦上,最後相乘比較都是「相等」的,正如毛爾所言的平等。既然相乘後都是一樣的,你是哪條弦,又是長或短已不再重要。此不變定理也呼應了毛爾所說的「完美的民主」(perfect democracy)如此的理想而不變。
  2. 證明「相似」的過程也呼應了所言的「完美的民主」 (perfect democracy):首先因為對應了相同的弦,角度自然也相同。雖然有些扇形貌似相當大,有些非常小,形狀懸殊甚大,但它們對應的弦及角度根本是相等(同)的。此呼應了平等概念,並更幫助我理解 “in relation to P” 的意義。通過 P 點的各個三角形的角(角度)其實都在 “the same status”。
  3. 是的。他的比喻對此證明當然有意義,也讓我對此定理有了更深的體悟。一開始他所說的 “the same status in relation to P” 令我一頭霧水,但當我根據此言繼續思考,我開始拼湊出此定理最核心的元素:P、弦、相等。比喻中所提到的概念比較不那麼抽象,給與我們連結的機會。因為比喻,我很順理成章地朝向對的證明方向走去, 所以比喻確實對證明和意義幫助甚大。
  4. 在過去數學學習過程中,我確實碰過此證明問題。但是當初老師並沒有輔佐類似的比喻或補充來幫助學生學習,而是生硬地用很「科學」(hard)的方式證明出來,但意義僅停留在定理的呈現上。有了比喻,不僅學生對定理會更加熟稔,也會有多一層人文的洗鍊,同時對定理和平等都有了更具體的概念,並能互相呼應和對照。人文的比喻詮釋和邏輯為重的數學定理不是互斥,而能互相兼容,也讓學生的概念清楚、全面,而更有深度。定理將不再只是定理。

讓我們請最後參看一位大四學生的回答:

  1. 毛爾的比喻大致是意思是:我們擁有完美的民主,這個完美的民主即是:每一條弦對於 P 點來說都擁有相同的地位。」而民主的重要內涵為平等,也就是說,每條弦對 P 是平等、相當的。由這點可以推知 PA×PBPC×PD會成立,因為通過 P 點的任一兩條弦 AB 及 CD,其到 P 點的距離相乘恆為一定數。
  2. 證明的過程中,因為畫出了圖形,所以更加清楚的理解何謂「玩(按:應為「完」之誤)美的民主」。提示中有說明:通過 P 點的每一條弦,都會符合 PA×PBPC×PD 的定理:每條弦到 P 點的距離相乘都會一樣,所以可以理解,毛爾所說的 perfect democracy 大概意指相等、平等。
  3. 有,後面的那句“every chord has the same status in relationship to P as any other” 給了證明時很好的思考方向,因為有這個提示,所以會多畫出其他的弦當輔助線,same status 也代表一個固定的地位(暗指一個定值),說明等式會成立的關鍵。
  4. 在過去學習數學的經驗中,只要跟幾何有關的題目好像都會碰到類似的證明問題。例如:橢圓上任一點到兩焦點的距離和是定數、拋物線上任一點到焦點與準線等距。當時在學這些公式時,老師在課堂上也曾打趣說過這樣的定裡(按:當為「理」之誤)良好地彰顯了平等的價值,意外讓冷冰冰的算式多了點人文氣息。

四、結論

根據上文的討論,我們可以發現:數學知識的內容與方法,的確與相關命題的文學比喻息息相關。數學知識與文學比喻(literary metaphor)互相發明,這種數學敘事為學習或反思提供了一種另類的切入點,除了有助於教師 — 譬如在大學通識課程或十二年國教的特色課程實施中 — 確認一般學生的相關數學素養之外,也得以鼓勵制式學習評量相對弱勢、但卻喜歡編或說故事的學生(以大學文學院學生為例),為自己尋求適合學習的方式與節奏。無論如何,這種數學敘事是非常值得推薦與推廣的教學工具,因為對教師來說,它是一種教學工具(teaching tool),而對學生來說,它則是一種認知工具(cognitive tool)。

最後,有關本文所提及之教學/研究工具,我想附帶說明它的取材背景。事實上,正如問卷說明,其第 1 題引自毛爾的《畢氏定理四千年》。它的上下文脈絡如下:

所謂美,固然有其主觀性,然而一個定理或其證明如何才能被認為是美的呢?數學家自有他們的一套共識,一個至高無上的判準,那便是對稱性。譬如說吧,考慮三角形的三條高:它們永遠交於一點(正如中線和分角線一樣)。這個命題給了三角形某種優雅,伴隨著它的全幅對稱性:沒有一個邊或頂點比起其他更具有優先性;在這些構成元素之中,有一種完全的民主(complete democracy)。或者,考慮這個定理:如果過圓內一點 P,畫出弦 AB,那麼,乘積 PAPB 為定值。這真是又一次完美的民主體現:對 P 點來說,每條弦全然平等,不分孰高孰低。

從這樣的比喻,我們可以發現:目前數學普及書寫中的敘事,已經不再只是歷史敘事(historical narrative)– 譬如說說數學與數學家的故事 — 而已,而是由於小說家的介入,出現了「數學小說」這種嶄新的文類(genre)。這種奠基於數學的文學比喻的書寫,想必對於數學家/數學普及作家帶來不小的啟發,於是,數學普及作品出現如上引毛爾的數學敘事,也就不足為奇了。因此,我建議凡是打算將數學敘事引進課堂教學的教師,積極地向數學普及書籍或數學小說學習,應該是一條極為可行的途徑。儘管這種進路不會也不應該完全取代制式課程,但是,在特色課程中採取這種教材與教學規劃,絕對是值得期許的嘗試。

參考文獻

毛爾 (2015).《畢氏定理四千年》,台北:三民書局。

林芳玫、洪萬生 (2009).〈數學小說初探:以結構主義敘事分析比較兩本小說〉,《科學教育學刊》第十七卷第六期, 531-549。

洪萬生 (2013). 台大開放式課程「數學與文化:以數學小說閱讀為進路」:http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/index.php/ocw/cou/101S126

數學小說專欄,台灣數學博物館 http://museum.math.ntnu.edu.tw/

 

附記:

本文初稿原刊教育部高中數學學科中心高中數學電子報第 99 期。轉載於此略有修訂。不過,我僅在目前版本的「結論」中,特別指出這種數學敘事同時是教學/評量與認知工具,前者針對數學教師,而後者則針對學生來說。

 

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http://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2017/02/mtm_logo.jpghttp://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2017/02/mtm_logo-150x67.jpg洪 萬生教學法Eli Maor,數學小說,毛爾一、引言 所謂數學敘事(mathematical narrative),是指用以溝通或建構數學意義的一種敘事(narrative)。在本文中,所謂的「數學的敘事理解」,是指藉由比喻(metaphor)的引進,數學與敘事的結合所引發或促進的數學理解。因此,如果我們打算將這一類工具引入教學現場,那麼,實施的對象或時機就要稍加考量。比如說,在制式的(conventional)學校教學中,這一類的工具比較適用於學生學過正規的教學內容之後,教師打算鼓勵學生進行更深層次的反思,或者為正規評量弱勢的學生尋求補救的機會。另外,在大學的數學通識課程中,也非常適合用來進行學習評量。 在本文中,我打算介紹一個有關數學敘事的教學評量工具 – 一份問卷,它通常被我使用在台大數學通識課程 --「數學與文化:以數學小說閱讀為進路」之中,作為第二週的課後作業。由於這一門課程的教學目標,是藉由數學小說(mathematical fiction)的閱讀來學習數學,因此,數學(敘事)素養的提升,當然是主要的教學關懷。 至於為何引進此一工具呢?在一方面,由於該課程的教學策略,是鼓勵學生進入(指定閱讀的)數學小說的故事情節中,挖掘它們所連結的數學知識活動,以便體會數學多元面向的價值與意義。另一方面,此一工具所涉及的圓冪定理,是國中數學課程的幾何核心內容,一般學生都應該曾經十分熟悉才是,還有,我們所設計的提問也呼應了這一門課的規劃初衷。根據我的課程大綱,這一門課程是希望藉由數學與敘事的結合,引導學生: 認識數學思維的本質,以及它的可親近性 (accessibility)。 從數學小說(與電影)中,探討數學概念或方法如何被呈現。 探討數學概念成為文化(或文學創作)的隱喻 (metaphor) 時,數學與文化彼此的相互影響。 因此,針對已有的數學知識 -- 譬如圓冪定理的證明 -- 之反思(reflection)能力,是這一門課程對於學習成就的期許。 二、學習評量工具 現在,請參考我的工具(問卷)如下: 主題:數學的文學比喻 *繳交日期: 姓名: 系級與學號: 同組同學: 回想國中數學,試證明下列定理: 給定圓內一點P,通過P 點任意畫一條弦 AB,則 PA×PB 為常數或定值。 If through a point P inside a circle a chord AB is drawn, the product PA×PB is constant.提示:通過 P 點另作任意一條弦 CD,證明 PA×PB = PC×PD 。 針對這個定理,毛爾在他的《畢氏定理四千年》評論說: “ we have perfect democracy: every chord has the same status in relation to P as any other.(這真是又一次地完美的民主體現:對 P 點來說,每條弦全然平等,不分孰高孰低。) 請問:這一比喻(metaphor)與此一定理的內容(content)有何關係?試簡要說明之。 此一定理的證明過程如何有助於你對於他的比喻之理解?試簡要說明之。 反過來,他的比喻對於此一定理的證明與意義是否有所幫助?試說明之。 你在過去的(數學)學習經驗中,是否曾經遭遇過類似的問題?如有,是哪一類的學習情境(譬如學校上課)?請說明之。 相對來說,在上述四個提問中,第 1 題有比較自由的發揮空間,儘管我所附的提示應該有助於學生的說明。事實上,這個提示意在指出數學(方法)的確實掌握,才能更加深刻理解相關的(文學)比喻, 因此,我設計了第 2 個提問。至於第 3 個,則是反過來考察(恰當的)比喻是否增進我們對數學知識的理解程度。至於第 4 個提問,則是希望掌握學生過去的數學經驗,以便可以幫助我們詮釋學生作業時的參考。 在 2014 年 7 月,我曾為教學碩士班的在職進修國、高中數學教師(任教年資至少五年),講授六堂數學史課程。第一次上課的第一節課一開始,我即邀請他們填寫此一問卷的第 1、2 題,其中,第 1 題的英文句子未附中文翻譯。在十五份回收問卷中,有十三份的回答都能切中要點,其餘兩份則未曾對比喻進行深入的討論。無論如何,這份問卷對數學經驗相當豐富的數學教師來說,具有可靠的「專家效度」,換句話說, 這是一份合理的數學問卷。我們且參看其中一位老師的回答: 每一條通過P 的弦都有相同的情況,就好像定理的內容中提到的 PA×PB為定值。將之比喻為完美的民主,可視每一條弦為每一個人民,在同一個國家內都有相同的地位、權利。 在證明的過程中,除了AB 這條弦之外,我們有又另做了一條弦 CD,利用證明這兩條弦和 P 之間會有 PA×PB = PC×PD 的關係,推得此定理。在證明過程中這兩條弦都是任意畫出的,表示每一條通過 P 的弦都會有相同的關係,呼應了這個比喻。 三、學生的回饋 2014 年秋季班,我在台大的通識課程「數學與文化:以數學小說閱讀為進路」中,要求學生回答此一問卷當成家庭作業。在回收的 32 份(有些同組學生共寫一份)作業中,我引述其中三份,其中一份是由兩位大一學生(同組)所提交。當然,這三份問卷的填寫者都提供了該定理的證明。她們的回答依序如下: 我們認為圓就像是一個完美民主框架下的政體(國家),P點就像是其中的人民(People),而無數的弦就可視為林林總總的政見,通過人民的同意後(弦通過 P 點),都能產生相同的結果(PA×PB=定值),也就是完美的民主(圓)。 證明過程讓我明白P 點與任意弦所構成的關係是相同的結果,都可以是PA×PB 成為一個固定的值,透過它可以對毛爾的比喻有些初步的概念。 毛爾用與我們切身相關的事物,也就是現在大多數人追求的民主,來對這個定理作比喻;用我們普遍的價值信仰來闡述這個存在於世上很久的道理,賦予了它實質上的意義。而這也是數學小說的表現手法之一,用一個淺顯易懂、平易近人的比喻,來套入數學的知識,使閱讀的人能夠更加清楚當中運用的數學,進而了解作者想闡述的意思。簡而言之就是,與其直接介紹這是哪一個數學定理,不如用貼近生活的比擬,來幫助讀者記憶和接納。 (從略)。 在上引這兩位學生的第 4 題的回答中,談到她們高中學習河內塔的經驗。當年,她們(高中不同校)之中的一位數學老師引進有關河內塔問題的傳說,讓她們留下了難忘的印象。緊接著,讓我們請參看一位大三學生的回答如下: 這句話特別突顯了民主中的平等價值(“democracy”… “the same status”)和定理中圓上其他點和 P 的關係巧妙相關。不論是哪條弦,以 P 為分界的兩段相乘必定和另一條弦的那兩段相乘一樣。簡言之,不論線段          是長或短或屬於哪條弦上,最後相乘比較都是「相等」的,正如毛爾所言的平等。既然相乘後都是一樣的,你是哪條弦,又是長或短已不再重要。此不變定理也呼應了毛爾所說的「完美的民主」(perfect democracy)如此的理想而不變。 證明「相似」的過程也呼應了所言的「完美的民主」 (perfect democracy):首先因為對應了相同的弦,角度自然也相同。雖然有些扇形貌似相當大,有些非常小,形狀懸殊甚大,但它們對應的弦及角度根本是相等(同)的。此呼應了平等概念,並更幫助我理解 “in relation to P” 的意義。通過 P 點的各個三角形的角(角度)其實都在 “the same status”。 是的。他的比喻對此證明當然有意義,也讓我對此定理有了更深的體悟。一開始他所說的 “the same status in relation to P” 令我一頭霧水,但當我根據此言繼續思考,我開始拼湊出此定理最核心的元素:P、弦、相等。比喻中所提到的概念比較不那麼抽象,給與我們連結的機會。因為比喻,我很順理成章地朝向對的證明方向走去, 所以比喻確實對證明和意義幫助甚大。 在過去數學學習過程中,我確實碰過此證明問題。但是當初老師並沒有輔佐類似的比喻或補充來幫助學生學習,而是生硬地用很「科學」(hard)的方式證明出來,但意義僅停留在定理的呈現上。有了比喻,不僅學生對定理會更加熟稔,也會有多一層人文的洗鍊,同時對定理和平等都有了更具體的概念,並能互相呼應和對照。人文的比喻詮釋和邏輯為重的數學定理不是互斥,而能互相兼容,也讓學生的概念清楚、全面,而更有深度。定理將不再只是定理。 讓我們請最後參看一位大四學生的回答: 毛爾的比喻大致是意思是:我們擁有完美的民主,這個完美的民主即是:每一條弦對於 P 點來說都擁有相同的地位。」而民主的重要內涵為平等,也就是說,每條弦對 P 是平等、相當的。由這點可以推知 PA×PB=PC×PD會成立,因為通過 P 點的任一兩條弦 AB 及 CD,其到 P 點的距離相乘恆為一定數。 證明的過程中,因為畫出了圖形,所以更加清楚的理解何謂「玩(按:應為「完」之誤)美的民主」。提示中有說明:通過 P 點的每一條弦,都會符合 PA×PB=PC×PD 的定理:每條弦到 P 點的距離相乘都會一樣,所以可以理解,毛爾所說的 perfect democracy 大概意指相等、平等。 有,後面的那句“every chord has the same status in relationship to P as any other” 給了證明時很好的思考方向,因為有這個提示,所以會多畫出其他的弦當輔助線,same status 也代表一個固定的地位(暗指一個定值),說明等式會成立的關鍵。 在過去學習數學的經驗中,只要跟幾何有關的題目好像都會碰到類似的證明問題。例如:橢圓上任一點到兩焦點的距離和是定數、拋物線上任一點到焦點與準線等距。當時在學這些公式時,老師在課堂上也曾打趣說過這樣的定裡(按:當為「理」之誤)良好地彰顯了平等的價值,意外讓冷冰冰的算式多了點人文氣息。 四、結論 根據上文的討論,我們可以發現:數學知識的內容與方法,的確與相關命題的文學比喻息息相關。數學知識與文學比喻(literary metaphor)互相發明,這種數學敘事為學習或反思提供了一種另類的切入點,除了有助於教師 -- 譬如在大學通識課程或十二年國教的特色課程實施中 -- 確認一般學生的相關數學素養之外,也得以鼓勵制式學習評量相對弱勢、但卻喜歡編或說故事的學生(以大學文學院學生為例),為自己尋求適合學習的方式與節奏。無論如何,這種數學敘事是非常值得推薦與推廣的教學工具,因為對教師來說,它是一種教學工具(teaching tool),而對學生來說,它則是一種認知工具(cognitive tool)。 最後,有關本文所提及之教學/研究工具,我想附帶說明它的取材背景。事實上,正如問卷說明,其第 1 題引自毛爾的《畢氏定理四千年》。它的上下文脈絡如下: 所謂美,固然有其主觀性,然而一個定理或其證明如何才能被認為是美的呢?數學家自有他們的一套共識,一個至高無上的判準,那便是對稱性。譬如說吧,考慮三角形的三條高:它們永遠交於一點(正如中線和分角線一樣)。這個命題給了三角形某種優雅,伴隨著它的全幅對稱性:沒有一個邊或頂點比起其他更具有優先性;在這些構成元素之中,有一種完全的民主(complete democracy)。或者,考慮這個定理:如果過圓內一點 P,畫出弦 AB,那麼,乘積 PA‧PB 為定值。這真是又一次完美的民主體現:對 P 點來說,每條弦全然平等,不分孰高孰低。 從這樣的比喻,我們可以發現:目前數學普及書寫中的敘事,已經不再只是歷史敘事(historical narrative)-- 譬如說說數學與數學家的故事 -- 而已,而是由於小說家的介入,出現了「數學小說」這種嶄新的文類(genre)。這種奠基於數學的文學比喻的書寫,想必對於數學家/數學普及作家帶來不小的啟發,於是,數學普及作品出現如上引毛爾的數學敘事,也就不足為奇了。因此,我建議凡是打算將數學敘事引進課堂教學的教師,積極地向數學普及書籍或數學小說學習,應該是一條極為可行的途徑。儘管這種進路不會也不應該完全取代制式課程,但是,在特色課程中採取這種教材與教學規劃,絕對是值得期許的嘗試。 參考文獻 毛爾 (2015).《畢氏定理四千年》,台北:三民書局。 林芳玫、洪萬生 (2009).〈數學小說初探:以結構主義敘事分析比較兩本小說〉,《科學教育學刊》第十七卷第六期, 531-549。 洪萬生 (2013). 台大開放式課程「數學與文化:以數學小說閱讀為進路」:http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/index.php/ocw/cou/101S126。 數學小說專欄,台灣數學博物館 http://museum.math.ntnu.edu.tw/   附記: 本文初稿原刊教育部高中數學學科中心高中數學電子報第 99 期。轉載於此略有修訂。不過,我僅在目前版本的「結論」中,特別指出這種數學敘事同時是教學/評量與認知工具,前者針對數學教師,而後者則針對學生來說。   原文下載Museum of Mathematics @ Taiwan