自從巴西數學教育家  D’Ambrosio  在  1984  年 「第五屆國際數學教育會議」中發表 “Socio-Cultural Bases for Mathematical Education”  一文後,「民族數學」 (ethnomathematics)  一詞開始登上數學教育舞臺。他將「文化族群」的定義,擴充到擁有某些相似的思考模式、術語、密碼、興趣、動機和神話的社會。十年後,他更以一種開放的態度來看待數學,並從語源學來定義所謂的 ethnomathematics:

ethno 代表文化或文化根源;mathema 在希臘的字根以只現實世界的解釋、瞭解、學習以及處理;tics 是 techne 的修正型,代表藝術、技術或形式。所以,ethnomathematics 即是對不同的文化和環境中,現實世界的解釋和模仿的不同形式。

而簡單一點的說法,如 Ascher 認為的,「原住民(traditional people)的數學理念(mathematical ideas)的研究,稱為民族數學。」(Ascher, 1991)如此看來,民族數學的研究,可以單純地只是研究原住民文化各層面中的數學理念,例如在衣飾或容器編織中找出數學結構;也可以是跨領域學科的結合,例如從文化霸權的觀念來看弱勢族群(包括原住民、女孩子、中下階層的小孩等等)的數學學習。但不管研究的取向如何,教育關懷是其一致的目標。基於此,P. Gerdes 在研究非洲莫三鼻給地區原住民數學的數學教育,提出民族數學研究的幾個面貌:對數學研究對象、數學理念抱持一種寬廣的態度。(Gerdes, 1994)在他的論述中,Gerdes 接受英國數學教育家 A. J. Bishop 的看法,亦即每一種文化中都可以分析出下列這六種數學活動:計算 (counting)、測量 (measuring)、定位 (locating)、設計 (designing)、玩耍 (playing)、解釋 (explaining)。(Bishop, 1991, pp.99-110) 當然,這六種活動中牽涉到的世界觀及其價值重視所在,會因為文化背景而有差異,從而影響文化族群建立的數學觀念。

數學活動是一種「人」的活動,不管是從哲學的觀點或是數學發展的歷史來看,數學研究的實體更是社會-文化-歷史的產物。所以,民族數學家強調對數學的教學與學習,應發展有影響的社會-文化因素。從一九九○年代多元文化的觀念逐漸受到重視以來,「民族數學」的「民族」既然不是侷限在原住民的「部落族群」上,似乎該以「多元文化數學」(multicultural mathematics) 來定位更恰當一些。「多元文化數學」不只研究各種文化族群的多元的數學理念,同時也將「多元文化」的觀念帶到數學教育中,一方面,讓數學教育工作者,對數學採取更開闊的多元看法;另一方面,對學生容納更多元的可能性,對教學與評量有更多元、更豐富的想像與實作。

傅麗玉教授在她的〈從世界觀探討臺灣原住民中小學科學教育〉一文中,依據 Kearney 對世界觀的形成與轉換之觀點,說明世界觀在科學教育上的意義,即在幫助個體檢驗其世界觀與其改變。所以,教師的世界觀,及科學課程中所教授的世界觀,若與學生原有的世界觀產生衝突時,將會影響學生科學教育的學習,及其世界觀的轉換。傅教授從原住民的世界觀之角度,來看現行的鄉土教材與科學課程,給了我們很多的思考方向。學生的世界觀,不只影響其科學的學習,同時,由於數學是社會-文化的產物,所以,學生的世界觀(包括空間、時間觀念)也會影響其數學學習的成果。底下,我將以臺灣布農族為例,從他們的「木刻畫曆」為例,嘗試從布農族的空間、時間觀來解釋「多元文化數學」的教育意義,並說明其對數學學習可能的影響及啟示。

布農族是一個典型的高山原住民族,分佈在埔里以南的中央山脈及其東側,直到知本主山以北的山地。現今的布農族分佈地,大約是以南投縣為中心,北到霧社,南到高雄旗山,東達中央山脈東麓及太麻里一帶的東海岸。在 1935年日治時代,台北帝國大學土俗學人類研究室出版的《台灣高砂族系統所屬研究》(高砂族為日治時期日本對台灣原住民的稱呼)一書中,把布農族分類成六大社群:卓社群、卡社群、巒社群、丹社群、郡社群,以及搭科布蘭郡。

對於住在山中的原住民而言,計算月數,甚至年數,似乎都是多此一舉的,更談不上曆表這一類的東西。如果要計算日子,就利用麻繩打結來計算日數,或是依照月亮的盈虧來大約地推測。但是,依據文獻記載,在日本治台時期,於警務局任職的橫尾廣輔,在 1934 年的《理蕃之友》第三期一月號中,曾提及在台中新高郡(今南投縣信義鄉)布農族的卡尼多岸社發現一塊畫曆板,長 121 公分,寬 10.81 公分,厚 0.9 公分。板上以各種圖形,來表示全年應行之歲時祭儀及生活禮俗。這可說是布農族目前所知的原始文字雛型了。後來,日本人又陸續在不同的地方,發現另兩塊類似的曆板,圖形大致相仿。1994 年 3 月,達西烏拉灣‧畢馬(田哲益)先生於信義鄉地利村發現新一塊的「木刻畫曆」(圖一),持有人為金全春蘭,她的祖先在未完成時不幸即已過世。

這塊畫曆與 1937 年發現的「木刻畫曆」(圖二)一樣都是出自卡尼多岸社,且都為丹社群忙達彎氏族人所有,此外,畫曆上的象形文字、符號亦相類似。

 

圖二為 1937 年發現的「木刻畫曆」,長約 120 公分,寬約 20 公分,木板厚約 6 公分,後來,成為布農族文物之寶。畫曆上分為八段:

  • A 段一至六日為「造地」、「整地」和「開墾」的祭典日。第一天稱為「拉庫諾」。在開墾之前,主祭者每夜卜夢,有吉夢的第二天即為「拉庫諾」。
  • B 段十五天為「播種粟米」的祭儀。大約在農曆春節(正月)後舉行。同樣,主祭者每夜卜夢,有吉夢的第二天即為祭事的第一天。
  • C 段兩天為粟米收穫祭。
  • D 段八天為除草祭儀。
  • E 段十二天為「打耳祭」,就是「打鹿耳」,也就是全面性打獵。
  • F 段十六天為「豐收祭」,要殺小猪。這段期間不能吃甜食。
  • G 段十天為「首飾祭儀」即「嬰兒祭」,為今年出生的小孩們掛上首飾、命名和釀新酒。這段期間禁吃甜食。
  • H 段六天為「拔稗祭儀」,由男人爬上榛木大叫「Xo, Xo, Xandi te Tel」(就是,「肉啊!來吧」),希望此番能出獵順利,把很多的肉帶回來。

布農族以月之盈虧來記月,設閏年以調整陰曆合於植物及氣溫之季節變化。每年農耕之始為十一月。布農族在進行重要的農事之前,首先會進行一連串的儀式或禁忌。祭儀團體的領導者為祭司,其身份通常由一定家系世襲。祭司要接受儀式程序的知識及觀察自然界之訓練。由於布農族極重視祭儀及禁忌,所以,祭司的地位非常崇高,極受尊重。

從以上的分析來看,可以知道布農族的時空觀念和漢人的時、空觀念(或是學校教授數學、科學知識中的時、空觀念)不盡相同。而在吾人的活動中,時間、空間這兩個面向,是一定會接觸到的,而且,這兩者也是數學概念中的重要成分。例如,在小學階段時,學習時間的表示,關於時間的計算;在中學時,利用平面或是空間的觀念學習幾何,更是佔了一大部份的課程內容,像是座標系的建立與表示,地圖的認識與定位、平面幾何以及空間幾何等。在學校的數學學習中,學生一定要有相當程度類似的時空觀念,才能理解教師教授的數學知識內容。所以,時間、空間觀念的不同,常常是原住民學生數學學習成就低落的一個重要原因,但是,在教室中,卻是最常被忽略的問題。

在瞭解布農族人的時間觀念之前,必須先瞭解其「史觀」。在布農族的觀念及語彙中,並無「歷史」一語的存在,而是用“balihabasan” 來表示「說以前的事」,凡是任何在以前發生或存在的是,都是“balihabasan” 的內容,而“balihabasan”,就包含了時間和空間的表述。就布農族的時間觀而言,和我們在學校中學得的那一套是非常不同的。他們的時間,是以「人」或「地點」來做準點的,例如「我祖父可以參加打獵時……」。在布農族中關於「時間」的語彙中,多半是曆法上的,他們通常以天象及自然的變化來描述形容時間的概念。例如,“hanian” 可以指「天」、「一天」,而它的原意是「中午」的意思。而且,從「木刻畫曆」中,我們也可以看出來,他們是以周期的方式來看待時間的。布農族人用“tasi-tu-bansagan” 來表示一個周期,通常是指曆法上的周期,而周期是一個個輪轉的。除了根據天象及自然現象作為指標之外,人的活動也是作為時間的標的之一。例如,「我的祖先遇到漢人時,我的祖父還在爬行;日本人到台灣時,祖父脫離兒童時期;日本人出現在山上時,祖父開始參加打獵。」所以,布農族人的時間觀念基本上是一種相對的觀念。

在“balihabasan” 的內容中,所包含的「地點」,指的是活動範圍的擴展或改變。他們的空間觀是立體的,他們的方向觀來自與太陽的相對位置,並輔以植物或特殊標的物作為參考。“Balihabasan” 的內容,舉凡自然的行程,人的起源、規範、見過或聽過曾發生的事等,都是它的內容。而正因為他們相信口傳的內容都是存在過的事實,所以類似「(不)可考」這樣的事,並不在他們的考慮範圍內。而所謂一件事的「邏輯性」,也只能從他們的文化及宇宙觀來看才能下定義。就這點而言,布農族的學生可能就無法理解數學的抽象假設,證明存在與否的問題,也許同樣會無法接受。

學生的世界觀(包括空間和時間觀)會影響其數學的學習,這一點是無庸置疑的。在課堂中,若教師的世界觀,或是想要傳遞的數學知識中的世界觀和學生的不同時,就會和學生原有的認知結構產生衝突。一旦數學教師不瞭解或不處理這種衝突,只是一昧的強迫學生學習某種單一意識型態的霸權,那到最後,不是學生數學成就低落,就是另一種文化的消失。反之,如果數學教師能夠釐清問題所在,譬如從上面的分析來看,布農族的時空觀念都和我們在教室中、社會中所盛行的「主流」觀念不同,如何在相關單元教學時,善用學生的這些世界觀,幫助其數學學習,這就是「多元文化數學」所要強調的,從研究、瞭解、尊重,到多元文化的並存。

參考文獻

Ascher, M. (1991). Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas.

Pacific Grove, CA: Brooks / Cole Publishing Company.

Bishop, A. J. (1991). Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

D’Ambrosio, U. (1984). “Socio-Cultural Bases for Mathematics Education,” Proceedings of the Fifth International Congress on Mathematics Education. Nottingham: Shell Center for Mathematical Education, Univ. of Nottingham.

D’Ambrosio, U. (1994). “Ethno-mathematics, the Nature of Mathematics and Mathematics Education,” in Ernest, Paul ed., Mathematics, Education and Philosophy: an International Perspective. London: The Falmer Press, pp. 230-242.

Gerdes, P. (1994). “Reflection on Ethnomathematics,” For the learning of Mathematics 14(2)(June): 19-22.

鈴木質 (1992).《台灣原住民風俗誌》,台北:臺原出版社。

達西烏拉彎‧畢馬(田哲益)(1995).《台灣布農族風俗圖誌》,台北:常民文化。

達西烏拉彎‧畢馬(田哲益)、達給斯海方岸‧娃莉絲(全妙雲)(1998).《布農族口傳神話傳說》,台北:臺原出版社。

傅麗玉 (1999).〈從世界觀探討臺灣原住民中小學科學教育〉,《科學教育學刊》,第七卷,第一期,pp. 71-90。

葉家寧 (1995).〈淺談布農族的史觀與時空觀的問題〉,收錄於《臺灣原住民史料彙編(一)》,南投:臺灣省文獻委員會。

 

編按:本文原刊《HPM 通訊》3(4)。又,布農族這一塊曆板(圖一)也經過商借,成為 HPM 2000 Taipei 國際研討會的海報圖案。

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http://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2017/02/木刻畫曆.2.jpghttp://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2017/02/木刻畫曆.2-150x98.jpg蘇惠玉HPM 專文民族數學布農族,民族數學,繪曆自從巴西數學教育家  D’Ambrosio  在  1984  年 「第五屆國際數學教育會議」中發表 “Socio-Cultural Bases for Mathematical Education”  一文後,「民族數學」 (ethnomathematics)  一詞開始登上數學教育舞臺。他將「文化族群」的定義,擴充到擁有某些相似的思考模式、術語、密碼、興趣、動機和神話的社會。十年後,他更以一種開放的態度來看待數學,並從語源學來定義所謂的 ethnomathematics: ethno 代表文化或文化根源;mathema 在希臘的字根以只現實世界的解釋、瞭解、學習以及處理;tics 是 techne 的修正型,代表藝術、技術或形式。所以,ethnomathematics 即是對不同的文化和環境中,現實世界的解釋和模仿的不同形式。 而簡單一點的說法,如 Ascher 認為的,「原住民(traditional people)的數學理念(mathematical ideas)的研究,稱為民族數學。」(Ascher, 1991)如此看來,民族數學的研究,可以單純地只是研究原住民文化各層面中的數學理念,例如在衣飾或容器編織中找出數學結構;也可以是跨領域學科的結合,例如從文化霸權的觀念來看弱勢族群(包括原住民、女孩子、中下階層的小孩等等)的數學學習。但不管研究的取向如何,教育關懷是其一致的目標。基於此,P. Gerdes 在研究非洲莫三鼻給地區原住民數學的數學教育,提出民族數學研究的幾個面貌:對數學研究對象、數學理念抱持一種寬廣的態度。(Gerdes, 1994)在他的論述中,Gerdes 接受英國數學教育家 A. J. Bishop 的看法,亦即每一種文化中都可以分析出下列這六種數學活動:計算 (counting)、測量 (measuring)、定位 (locating)、設計 (designing)、玩耍 (playing)、解釋 (explaining)。(Bishop, 1991, pp.99-110) 當然,這六種活動中牽涉到的世界觀及其價值重視所在,會因為文化背景而有差異,從而影響文化族群建立的數學觀念。 數學活動是一種「人」的活動,不管是從哲學的觀點或是數學發展的歷史來看,數學研究的實體更是社會-文化-歷史的產物。所以,民族數學家強調對數學的教學與學習,應發展有影響的社會-文化因素。從一九九○年代多元文化的觀念逐漸受到重視以來,「民族數學」的「民族」既然不是侷限在原住民的「部落族群」上,似乎該以「多元文化數學」(multicultural mathematics) 來定位更恰當一些。「多元文化數學」不只研究各種文化族群的多元的數學理念,同時也將「多元文化」的觀念帶到數學教育中,一方面,讓數學教育工作者,對數學採取更開闊的多元看法;另一方面,對學生容納更多元的可能性,對教學與評量有更多元、更豐富的想像與實作。 傅麗玉教授在她的〈從世界觀探討臺灣原住民中小學科學教育〉一文中,依據 Kearney 對世界觀的形成與轉換之觀點,說明世界觀在科學教育上的意義,即在幫助個體檢驗其世界觀與其改變。所以,教師的世界觀,及科學課程中所教授的世界觀,若與學生原有的世界觀產生衝突時,將會影響學生科學教育的學習,及其世界觀的轉換。傅教授從原住民的世界觀之角度,來看現行的鄉土教材與科學課程,給了我們很多的思考方向。學生的世界觀,不只影響其科學的學習,同時,由於數學是社會-文化的產物,所以,學生的世界觀(包括空間、時間觀念)也會影響其數學學習的成果。底下,我將以臺灣布農族為例,從他們的「木刻畫曆」為例,嘗試從布農族的空間、時間觀來解釋「多元文化數學」的教育意義,並說明其對數學學習可能的影響及啟示。 布農族是一個典型的高山原住民族,分佈在埔里以南的中央山脈及其東側,直到知本主山以北的山地。現今的布農族分佈地,大約是以南投縣為中心,北到霧社,南到高雄旗山,東達中央山脈東麓及太麻里一帶的東海岸。在 1935年日治時代,台北帝國大學土俗學人類研究室出版的《台灣高砂族系統所屬研究》(高砂族為日治時期日本對台灣原住民的稱呼)一書中,把布農族分類成六大社群:卓社群、卡社群、巒社群、丹社群、郡社群,以及搭科布蘭郡。 對於住在山中的原住民而言,計算月數,甚至年數,似乎都是多此一舉的,更談不上曆表這一類的東西。如果要計算日子,就利用麻繩打結來計算日數,或是依照月亮的盈虧來大約地推測。但是,依據文獻記載,在日本治台時期,於警務局任職的橫尾廣輔,在 1934 年的《理蕃之友》第三期一月號中,曾提及在台中新高郡(今南投縣信義鄉)布農族的卡尼多岸社發現一塊畫曆板,長 121 公分,寬 10.81 公分,厚 0.9 公分。板上以各種圖形,來表示全年應行之歲時祭儀及生活禮俗。這可說是布農族目前所知的原始文字雛型了。後來,日本人又陸續在不同的地方,發現另兩塊類似的曆板,圖形大致相仿。1994 年 3 月,達西烏拉灣‧畢馬(田哲益)先生於信義鄉地利村發現新一塊的「木刻畫曆」(圖一),持有人為金全春蘭,她的祖先在未完成時不幸即已過世。 這塊畫曆與 1937 年發現的「木刻畫曆」(圖二)一樣都是出自卡尼多岸社,且都為丹社群忙達彎氏族人所有,此外,畫曆上的象形文字、符號亦相類似。   圖二為 1937 年發現的「木刻畫曆」,長約 120 公分,寬約 20 公分,木板厚約 6 公分,後來,成為布農族文物之寶。畫曆上分為八段: A 段一至六日為「造地」、「整地」和「開墾」的祭典日。第一天稱為「拉庫諾」。在開墾之前,主祭者每夜卜夢,有吉夢的第二天即為「拉庫諾」。 B 段十五天為「播種粟米」的祭儀。大約在農曆春節(正月)後舉行。同樣,主祭者每夜卜夢,有吉夢的第二天即為祭事的第一天。 C 段兩天為粟米收穫祭。 D 段八天為除草祭儀。 E 段十二天為「打耳祭」,就是「打鹿耳」,也就是全面性打獵。 F 段十六天為「豐收祭」,要殺小猪。這段期間不能吃甜食。 G 段十天為「首飾祭儀」即「嬰兒祭」,為今年出生的小孩們掛上首飾、命名和釀新酒。這段期間禁吃甜食。 H 段六天為「拔稗祭儀」,由男人爬上榛木大叫「Xo, Xo, Xandi te Tel」(就是,「肉啊!來吧」),希望此番能出獵順利,把很多的肉帶回來。 布農族以月之盈虧來記月,設閏年以調整陰曆合於植物及氣溫之季節變化。每年農耕之始為十一月。布農族在進行重要的農事之前,首先會進行一連串的儀式或禁忌。祭儀團體的領導者為祭司,其身份通常由一定家系世襲。祭司要接受儀式程序的知識及觀察自然界之訓練。由於布農族極重視祭儀及禁忌,所以,祭司的地位非常崇高,極受尊重。 從以上的分析來看,可以知道布農族的時空觀念和漢人的時、空觀念(或是學校教授數學、科學知識中的時、空觀念)不盡相同。而在吾人的活動中,時間、空間這兩個面向,是一定會接觸到的,而且,這兩者也是數學概念中的重要成分。例如,在小學階段時,學習時間的表示,關於時間的計算;在中學時,利用平面或是空間的觀念學習幾何,更是佔了一大部份的課程內容,像是座標系的建立與表示,地圖的認識與定位、平面幾何以及空間幾何等。在學校的數學學習中,學生一定要有相當程度類似的時空觀念,才能理解教師教授的數學知識內容。所以,時間、空間觀念的不同,常常是原住民學生數學學習成就低落的一個重要原因,但是,在教室中,卻是最常被忽略的問題。 在瞭解布農族人的時間觀念之前,必須先瞭解其「史觀」。在布農族的觀念及語彙中,並無「歷史」一語的存在,而是用“balihabasan” 來表示「說以前的事」,凡是任何在以前發生或存在的是,都是“balihabasan” 的內容,而“balihabasan”,就包含了時間和空間的表述。就布農族的時間觀而言,和我們在學校中學得的那一套是非常不同的。他們的時間,是以「人」或「地點」來做準點的,例如「我祖父可以參加打獵時……」。在布農族中關於「時間」的語彙中,多半是曆法上的,他們通常以天象及自然的變化來描述形容時間的概念。例如,“hanian” 可以指「天」、「一天」,而它的原意是「中午」的意思。而且,從「木刻畫曆」中,我們也可以看出來,他們是以周期的方式來看待時間的。布農族人用“tasi-tu-bansagan” 來表示一個周期,通常是指曆法上的周期,而周期是一個個輪轉的。除了根據天象及自然現象作為指標之外,人的活動也是作為時間的標的之一。例如,「我的祖先遇到漢人時,我的祖父還在爬行;日本人到台灣時,祖父脫離兒童時期;日本人出現在山上時,祖父開始參加打獵。」所以,布農族人的時間觀念基本上是一種相對的觀念。 在“balihabasan” 的內容中,所包含的「地點」,指的是活動範圍的擴展或改變。他們的空間觀是立體的,他們的方向觀來自與太陽的相對位置,並輔以植物或特殊標的物作為參考。“Balihabasan” 的內容,舉凡自然的行程,人的起源、規範、見過或聽過曾發生的事等,都是它的內容。而正因為他們相信口傳的內容都是存在過的事實,所以類似「(不)可考」這樣的事,並不在他們的考慮範圍內。而所謂一件事的「邏輯性」,也只能從他們的文化及宇宙觀來看才能下定義。就這點而言,布農族的學生可能就無法理解數學的抽象假設,證明存在與否的問題,也許同樣會無法接受。 學生的世界觀(包括空間和時間觀)會影響其數學的學習,這一點是無庸置疑的。在課堂中,若教師的世界觀,或是想要傳遞的數學知識中的世界觀和學生的不同時,就會和學生原有的認知結構產生衝突。一旦數學教師不瞭解或不處理這種衝突,只是一昧的強迫學生學習某種單一意識型態的霸權,那到最後,不是學生數學成就低落,就是另一種文化的消失。反之,如果數學教師能夠釐清問題所在,譬如從上面的分析來看,布農族的時空觀念都和我們在教室中、社會中所盛行的「主流」觀念不同,如何在相關單元教學時,善用學生的這些世界觀,幫助其數學學習,這就是「多元文化數學」所要強調的,從研究、瞭解、尊重,到多元文化的並存。 參考文獻 Ascher, M. (1991). Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas. Pacific Grove, CA: Brooks / Cole Publishing Company. Bishop, A. J. (1991). Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. D’Ambrosio, U. (1984). “Socio-Cultural Bases for Mathematics Education,” Proceedings of the Fifth International Congress on Mathematics Education. Nottingham: Shell Center for Mathematical Education, Univ. of Nottingham. D’Ambrosio, U. (1994). “Ethno-mathematics, the Nature of Mathematics and Mathematics Education,” in Ernest, Paul ed., Mathematics, Education and Philosophy: an International Perspective. London: The Falmer Press, pp. 230-242. Gerdes, P. (1994). “Reflection on Ethnomathematics,” For the learning of Mathematics 14(2)(June): 19-22. 鈴木質 (1992).《台灣原住民風俗誌》,台北:臺原出版社。 達西烏拉彎‧畢馬(田哲益)(1995).《台灣布農族風俗圖誌》,台北:常民文化。 達西烏拉彎‧畢馬(田哲益)、達給斯海方岸‧娃莉絲(全妙雲)(1998).《布農族口傳神話傳說》,台北:臺原出版社。 傅麗玉 (1999).〈從世界觀探討臺灣原住民中小學科學教育〉,《科學教育學刊》,第七卷,第一期,pp. 71-90。 葉家寧 (1995).〈淺談布農族的史觀與時空觀的問題〉,收錄於《臺灣原住民史料彙編(一)》,南投:臺灣省文獻委員會。   編按:本文原刊《HPM 通訊》3(4)。又,布農族這一塊曆板(圖一)也經過商借,成為 HPM 2000 Taipei 國際研討會的海報圖案。Museum of Mathematics @ Taiwan