相對於羅密士(Elisha Scott Loomis)的《畢氏命題》(The Pythagorean Proposition,初版於1927年)的371個證明,八十年後問世的這本《畢氏定理四千年》(2007年)究竟有什麼賣點呢?當作者毛爾自以為發現一個巧妙的新證法,最終還是難逃羅密士所佈下的371天羅地網,尤其不無「狗尾續貂」之嫌。因此,從激發讀者的好奇心來考量,這種「炒冷飯」的無聊之舉,看來根本不值得我們推薦,更何況在網路上,我們還可以輕易地搜尋並儲存《畢氏命題》的免費電子版。

不過,這本《畢氏定理四千年》還是值得大力推薦。我的理由主要有兩分面。首先,毛爾這位數學家兼科普作家對於數學知識活動的體會,相當通情達理,因此,讓他來「重述」這個主題的故事,調性婉約體貼,足以打動人心。其次,毛爾在本書中,將這個主題的敘事放在數學史的脈絡中,讀者因而得以認識畢氏定理與數學發展的密切關係,從而在數學知識活動上,凸顯「舊詞新說」與數學真理歷久彌新的特殊意義。

現在,讓我們回到上引毛爾那個非常巧妙的證法。在本書「補充欄 4」中,作者以「折疊的袋子」證法名之。其中,我們看到毛爾的現身說法,透露他「再發現」此一證法的無上「法喜」,儘管它仍逃不過羅密士鉅細靡遺的蒐集彙編。根據《畢氏命題》的記錄(編號 230),那是早在 1934 年,就已經由一位十九歲的年輕人所發現。事實上,這個證法充滿了數學洞識,它不僅連結了「面積證法」與「比例證法」,是「圖說一體,不證自明」(proof without words)的最佳例證之一,另一方面,此一方法正如毛爾所指出:「只要證明畢氏定理在這個特別的多邊形(按:本例為三角形)上能夠成立就可以了。」

面積證法與比例證法是《幾何原本》中,歐幾里得為畢氏定理所提供的兩種證法。所謂的面積證法,是指《幾何原本》第 I 冊第 47 命題的證法,它主要依賴三角形(面積)全等(SAS)的概念,來證明:在一個直角三角形中,直角的對邊上的正方形(面積),等於包含直角的兩邊上的正方形(面積)之和。另一方面,比例證法是指《幾何原本》第 VI 冊第 31 命題:直角對邊上的圖形(figure),等於包含直角的兩邊上之相似及相似地被描述的圖形(similar and similarly described figures)。根據毛爾的說明, 這幾乎是命題 I.47 的逐字重複,除了『正方形』被『(相似)圖形』所取代。」此處,「被描述的圖形」可以是任意彼此相似的圖形,它們甚至不必是多邊形。因此,命題 VI. 31 顯然是命題 I. 47 的延拓,歐幾里得之所以將前者安排在第 VI 冊,是因為《幾何原本》直到該冊才討論相似形。而這當然,更是由於比例式理論(theory of proportion)安排在第 V 冊的緣故。事實上,《幾何原本》前四冊主題是平面幾何學,也是我們目前國中幾何教材的最原始出處。

除了這兩種方法之外,畢氏定理的主要證法還有所謂的「弦圖證法」。這個方法源自中國與印度。無論是哪一個版本,應該都是利用圖形的切、割、移、補- 在中國第三世紀被魏晉數學家劉徽稱之為「出入相補」,出自他對漢代數學經典《九章算術》的「勾股術」之註解。不過,現代人(尤其是數學教科書的編輯)都喜歡將它「翻譯」成代數式子的操弄(二項式展開),從而減損了它固有樸拙的「美術勞作」風格,實在有一點可惜,因為如果國中學生無法嫻熟操作二項展開式,那麼,此一證法的理解就備受考驗。無論如何,「出入相補」這個方法訴諸直觀的「動手做」,在不必講求邏輯嚴密論證的文化脈絡(譬如中國與印度)中,顯然相當受到歡迎。事實上,在初等教育階段,它也是非常值得引進課堂的一個經典案例,可以操練所謂的「探究」(investigation)教學是怎麼回事。另一方面,如果我們願意「勻出」一點寶貴時間,試著比較這三個證法在方法論(methodology)層面的異同,乃至於認識論(epistemology)層面的意義,那麼,關注數學知識活動的多元價值,或許可以多少成為國民素養的一部份了。

上述這個比較的案例,不必侷限在初等教育層次,高中或大學教師其實也可據以探討數學發現與證明的意義。還有,對一般讀者來說,利用這個案例重溫學習數學的經驗(不管「甜美」或「苦澀」,或甚至「不知從何說起」),在一個科技主導世界、而數學又大大主導科技的世代中,或許可以變得比較舒適自在。這種從數學史取材融入數學教學,而企圖讓數學知識活動變得更有意義的進路,是HPM 的主要關懷之一。

所謂 HPM,是指數學史融入數學教學的一種教育研究與實踐。它原來代表國際數學教育委員會(ICMI)的一個最早成立的研究群: International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics ,後來也指涉此一研究群針對數學教育的共同關懷。毛爾的數學普及書寫雖然並未刻意呼應這種關懷,然而,就如同許多其他科普著作一樣,《畢氏定理四千年》在歷史文化脈絡中,說明相關的數學知識活動之意義,因此,本書當然也可以算是 HPM方面的參考著作。

如此歸類當然需要一個先決條件,那就是:本書是採取數學史進路,論述以畢氏定理為專題的一部(科普)著作。事實上,作者在本書中,的確大致按照數學的發展歷程,來敘述與畢氏定理有關的數學與數學家的故事。譬如說吧,從畢氏到歐幾里得與阿基米德,是有關希臘數學史的部分。在公元後 500-1500 年間,作者則是以中世紀歐洲,以及印度與阿拉伯數學史為主題。至於進入微積分主導的近代數學時期,作者先引進創立代數符號法則的韋達,因為他將「三角學從原本侷限在解三角形的一門學問,轉變成為與分析學有關的學門」。至於作者何以獨厚韋達?那是由於畢氏定理在三角學中扮演了核心角色。在微積分的相關敘事中,作者主要指出微分版的畢氏定理如何應用以求曲線之弧長,「畢達哥拉斯一定很難想像,他的定理被用於求幾乎所有曲線之長度」,其中必須藉助於無限的概念,而這卻曾經深深困擾著古希臘人。

在簡短敘述的微積分發明故事之後,作者開始採取「專題」的方式,來說明畢氏定理在各相關領域的現身之意義:畢氏定理與射影幾何學中的線座標、畢氏定理與內積空間乃至於希爾伯特空間、畢氏定理與黎曼幾何、畢氏定理與相對論,等等。在這些敘事中,有一些很少被一般的科普作品所引述,譬如愛因斯坦的十二歲回憶:「在我拿到這本神聖的幾何學小冊之前,伯父就告訴過我畢氏定理。經過一番努力後,我在相似三角形的基礎上成功地『證明』了這個定理。對我來說,像直角三角形邊長的比例關係,由其中一個銳角完全決定是『顯然』的,在類似的情況下,只有我認為不那麼『顯然』的才需要證明。」顯然,愛因斯坦「再發現」了比例證法,這清楚說明畢氏定理以及包括它的《幾何原本》,一直在數學學習上扮演了重要的啟蒙角色。

因此,本書不僅適合中小學師生閱讀,對於一般讀者來說,它也是可用以充實國民素養的數學普及讀物。事實上,筆者所以主譯本書並高度推薦,不僅是毛爾的普及數學著作在台灣頗受歡迎,更值得注意的,是他的一貫寫作風格,都是企圖在文化史的脈絡中,讓數學知識活動變得更加立體起來,換句話說,他對歷史上的數學現象之「快照」,因為有了文化脈絡的襯托,譬如本書「補充欄 2:藝術、詩歌及散文中的畢氏定理」,而發揮了 3-D 再現的效果。另一方面,作者也「不惜」將自己推入歷史敘事現場,讓本書洋溢著毛爾獨特的「個人風格」,譬如他不僅自評他自己「再發明」的證法,還在本書最後一章〈終曲〉中,簡述他們夫婦在 2005 年 2 月地中海暴風季節,前往畢達哥拉斯家鄉沙摩斯島旅遊的經歷。最後,當他的回程飛機繞過島上最高峰克基斯山時,他想起漁夫沿著陡峭的山壁航行時,都仰賴了畢達哥拉斯的靈魂所點燃的一道光,在「暴風裡,它就如同燈塔般地指引了安全的方向。」這是本書的結語,也是最佳的自我推薦!

 

2014/11/25 附記:

本書英文版是毛爾(Eli Maor)所著的 The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History,中譯本由黃俊瑋、蘇俊鴻、林炎全與我合作,三民書局即將出版。又,林炎全老師曾經寫過本書的書評,請參看數學博物館‧科普特區‧深度書評。

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http://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2014/11/畢氏定理四千年.jpghttp://mathmuseum.tw/wp-content/uploads/2014/11/畢氏定理四千年-150x150.jpg洪 萬生深度書評Eli Maor,出入相補,弦圖證法,畢氏定理,畢氏定理四千年相對於羅密士(Elisha Scott Loomis)的《畢氏命題》(The Pythagorean Proposition,初版於1927年)的371個證明,八十年後問世的這本《畢氏定理四千年》(2007年)究竟有什麼賣點呢?當作者毛爾自以為發現一個巧妙的新證法,最終還是難逃羅密士所佈下的371天羅地網,尤其不無「狗尾續貂」之嫌。因此,從激發讀者的好奇心來考量,這種「炒冷飯」的無聊之舉,看來根本不值得我們推薦,更何況在網路上,我們還可以輕易地搜尋並儲存《畢氏命題》的免費電子版。 不過,這本《畢氏定理四千年》還是值得大力推薦。我的理由主要有兩分面。首先,毛爾這位數學家兼科普作家對於數學知識活動的體會,相當通情達理,因此,讓他來「重述」這個主題的故事,調性婉約體貼,足以打動人心。其次,毛爾在本書中,將這個主題的敘事放在數學史的脈絡中,讀者因而得以認識畢氏定理與數學發展的密切關係,從而在數學知識活動上,凸顯「舊詞新說」與數學真理歷久彌新的特殊意義。 現在,讓我們回到上引毛爾那個非常巧妙的證法。在本書「補充欄 4」中,作者以「折疊的袋子」證法名之。其中,我們看到毛爾的現身說法,透露他「再發現」此一證法的無上「法喜」,儘管它仍逃不過羅密士鉅細靡遺的蒐集彙編。根據《畢氏命題》的記錄(編號 230),那是早在 1934 年,就已經由一位十九歲的年輕人所發現。事實上,這個證法充滿了數學洞識,它不僅連結了「面積證法」與「比例證法」,是「圖說一體,不證自明」(proof without words)的最佳例證之一,另一方面,此一方法正如毛爾所指出:「只要證明畢氏定理在這個特別的多邊形(按:本例為三角形)上能夠成立就可以了。」 面積證法與比例證法是《幾何原本》中,歐幾里得為畢氏定理所提供的兩種證法。所謂的面積證法,是指《幾何原本》第 I 冊第 47 命題的證法,它主要依賴三角形(面積)全等(SAS)的概念,來證明:在一個直角三角形中,直角的對邊上的正方形(面積),等於包含直角的兩邊上的正方形(面積)之和。另一方面,比例證法是指《幾何原本》第 VI 冊第 31 命題:直角對邊上的圖形(figure),等於包含直角的兩邊上之相似及相似地被描述的圖形(similar and similarly described figures)。根據毛爾的說明, 這幾乎是命題 I.47 的逐字重複,除了『正方形』被『(相似)圖形』所取代。」此處,「被描述的圖形」可以是任意彼此相似的圖形,它們甚至不必是多邊形。因此,命題 VI. 31 顯然是命題 I. 47 的延拓,歐幾里得之所以將前者安排在第 VI 冊,是因為《幾何原本》直到該冊才討論相似形。而這當然,更是由於比例式理論(theory of proportion)安排在第 V 冊的緣故。事實上,《幾何原本》前四冊主題是平面幾何學,也是我們目前國中幾何教材的最原始出處。 除了這兩種方法之外,畢氏定理的主要證法還有所謂的「弦圖證法」。這個方法源自中國與印度。無論是哪一個版本,應該都是利用圖形的切、割、移、補- 在中國第三世紀被魏晉數學家劉徽稱之為「出入相補」,出自他對漢代數學經典《九章算術》的「勾股術」之註解。不過,現代人(尤其是數學教科書的編輯)都喜歡將它「翻譯」成代數式子的操弄(二項式展開),從而減損了它固有樸拙的「美術勞作」風格,實在有一點可惜,因為如果國中學生無法嫻熟操作二項展開式,那麼,此一證法的理解就備受考驗。無論如何,「出入相補」這個方法訴諸直觀的「動手做」,在不必講求邏輯嚴密論證的文化脈絡(譬如中國與印度)中,顯然相當受到歡迎。事實上,在初等教育階段,它也是非常值得引進課堂的一個經典案例,可以操練所謂的「探究」(investigation)教學是怎麼回事。另一方面,如果我們願意「勻出」一點寶貴時間,試著比較這三個證法在方法論(methodology)層面的異同,乃至於認識論(epistemology)層面的意義,那麼,關注數學知識活動的多元價值,或許可以多少成為國民素養的一部份了。 上述這個比較的案例,不必侷限在初等教育層次,高中或大學教師其實也可據以探討數學發現與證明的意義。還有,對一般讀者來說,利用這個案例重溫學習數學的經驗(不管「甜美」或「苦澀」,或甚至「不知從何說起」),在一個科技主導世界、而數學又大大主導科技的世代中,或許可以變得比較舒適自在。這種從數學史取材融入數學教學,而企圖讓數學知識活動變得更有意義的進路,是HPM 的主要關懷之一。 所謂 HPM,是指數學史融入數學教學的一種教育研究與實踐。它原來代表國際數學教育委員會(ICMI)的一個最早成立的研究群: International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics ,後來也指涉此一研究群針對數學教育的共同關懷。毛爾的數學普及書寫雖然並未刻意呼應這種關懷,然而,就如同許多其他科普著作一樣,《畢氏定理四千年》在歷史文化脈絡中,說明相關的數學知識活動之意義,因此,本書當然也可以算是 HPM方面的參考著作。 如此歸類當然需要一個先決條件,那就是:本書是採取數學史進路,論述以畢氏定理為專題的一部(科普)著作。事實上,作者在本書中,的確大致按照數學的發展歷程,來敘述與畢氏定理有關的數學與數學家的故事。譬如說吧,從畢氏到歐幾里得與阿基米德,是有關希臘數學史的部分。在公元後 500-1500 年間,作者則是以中世紀歐洲,以及印度與阿拉伯數學史為主題。至於進入微積分主導的近代數學時期,作者先引進創立代數符號法則的韋達,因為他將「三角學從原本侷限在解三角形的一門學問,轉變成為與分析學有關的學門」。至於作者何以獨厚韋達?那是由於畢氏定理在三角學中扮演了核心角色。在微積分的相關敘事中,作者主要指出微分版的畢氏定理如何應用以求曲線之弧長,「畢達哥拉斯一定很難想像,他的定理被用於求幾乎所有曲線之長度」,其中必須藉助於無限的概念,而這卻曾經深深困擾著古希臘人。 在簡短敘述的微積分發明故事之後,作者開始採取「專題」的方式,來說明畢氏定理在各相關領域的現身之意義:畢氏定理與射影幾何學中的線座標、畢氏定理與內積空間乃至於希爾伯特空間、畢氏定理與黎曼幾何、畢氏定理與相對論,等等。在這些敘事中,有一些很少被一般的科普作品所引述,譬如愛因斯坦的十二歲回憶:「在我拿到這本神聖的幾何學小冊之前,伯父就告訴過我畢氏定理。經過一番努力後,我在相似三角形的基礎上成功地『證明』了這個定理。對我來說,像直角三角形邊長的比例關係,由其中一個銳角完全決定是『顯然』的,在類似的情況下,只有我認為不那麼『顯然』的才需要證明。」顯然,愛因斯坦「再發現」了比例證法,這清楚說明畢氏定理以及包括它的《幾何原本》,一直在數學學習上扮演了重要的啟蒙角色。 因此,本書不僅適合中小學師生閱讀,對於一般讀者來說,它也是可用以充實國民素養的數學普及讀物。事實上,筆者所以主譯本書並高度推薦,不僅是毛爾的普及數學著作在台灣頗受歡迎,更值得注意的,是他的一貫寫作風格,都是企圖在文化史的脈絡中,讓數學知識活動變得更加立體起來,換句話說,他對歷史上的數學現象之「快照」,因為有了文化脈絡的襯托,譬如本書「補充欄 2:藝術、詩歌及散文中的畢氏定理」,而發揮了 3-D 再現的效果。另一方面,作者也「不惜」將自己推入歷史敘事現場,讓本書洋溢著毛爾獨特的「個人風格」,譬如他不僅自評他自己「再發明」的證法,還在本書最後一章〈終曲〉中,簡述他們夫婦在 2005 年 2 月地中海暴風季節,前往畢達哥拉斯家鄉沙摩斯島旅遊的經歷。最後,當他的回程飛機繞過島上最高峰克基斯山時,他想起漁夫沿著陡峭的山壁航行時,都仰賴了畢達哥拉斯的靈魂所點燃的一道光,在「暴風裡,它就如同燈塔般地指引了安全的方向。」這是本書的結語,也是最佳的自我推薦!   2014/11/25 附記: 本書英文版是毛爾(Eli Maor)所著的 The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History,中譯本由黃俊瑋、蘇俊鴻、林炎全與我合作,三民書局即將出版。又,林炎全老師曾經寫過本書的書評,請參看數學博物館‧科普特區‧深度書評。  原文下載  Museum of Mathematics @ Taiwan