正七邊形的尺規作圖之不可能！

從正三角形開始，正方形、正五邊形、正六邊形都可以尺規作圖（請參看本欄文章：〈從三角形到正方形〉和〈正 5、6、15 邊形之尺規作圖〉）。

本欄已刊李建勳〈反證正七邊形不可能尺規作圖〉，當然足以說明此一正多邊形的作圖之不可能。此處，我們再推薦一個更代數化的方法，證明此一不可能性！

考慮下列方程式

z⁷ − 1 = 0

其中 z = x + yi 。顯然它的七個根，恰好是複數平面上單位圓內正七邊形的七個頂點。由於

(z − 1)(z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1) = z⁷ −1 = 0 ,

因此，它的七根除了z = 1之外，其它的六根都是下列方程式的根：

z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1= 0   ………………… (1)

現在，讓我們將 (1) 式等號兩邊同除以z³ ，則可得下式：

z³ + 1/z³ + z² + 1/z² + z + 1/^z + 1 = 0   ………………… (2)

再進一步作代數變換，又可以得到下式：

(z + 1/z)³ − 3(z + 1/z) + (z + 1/z)² − 2 + (z + 1/z) + 1 = 0   ………………… (3)

令  y = z + 1/z ，則(3)式可以變換成為下列方程式：

y³ + y² − 2y − 1 = 0   ………………… (4)

另一方面，由於 z 是1的七次方根，所以，它可以表示為下式：

z = cosφ + i sinφ

其中 φ = 360° / 7 。另外，再由於1/ z = cosφ − i sinφ ，因此  y = z + 1/ z = 2 cosφ 。

現在，如果我們可以針對  y （尺規）作圖，當然也可以針對 cosφ 作圖，反之亦然！因此，如果我們可以證明 y 無法作圖，那麼，cosφ 或 z 當然也無法作圖，於是，正七邊形的作圖就不可能了。

最後，如果我們可以證明上述方程式(4)沒有有理根，那麼，我們就大功告成了。現在，假設它有一個有理根，令為 r / s （ r, s 互質），則

r³ + r ²s − 2rs² − s³ = 0

由此可知 r³ 有因數 s ， s³ 有因數 r 。但是， r, s 可能的公因數必須是 ± 1 ，因此，如果方程式(4)有一個有理根的話，那麼，它不是 +1  就是 -1。這兩個數都無法滿足方程式(4)，因此，方程式(4)沒有有理根， y 乃至於 z 當然就無法尺規作圖了。

附註：本文根據 Richard Courant and Herbert Robbins (Revised by Ian Stewart), What Is Mathematics? (New York / Oxford: Oxford University Press, 1996) pp. 138-139 改寫。

 

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