行星面積定律的建立

前言

克卜勒（J. Kepler，1571-1630）在科學革命時期中，扮演著如伽利略（G. Galilei，1564-1642）一樣的重要角色。一些科學史家更稱：

克卜勒是第一個冒險對天文學的問題，進行嚴密數學處理的人；是在新科學那特有的意義上，第一個確立起自然律的人。

克卜勒是第一位在成功探究自然 律時，發現其藝術性者。”（伯特，1994，p57）

這是因克卜勒所建立、發展出的橢圓定律，及面積定律（1609 年），要較伽利略的落體運動定律（1634 年），早了約 20 多年之久（Koyer，1978）。

他不僅是代表著，科學革命時期著名的思想運動前趨，…尤其是他的描述與研究方法，與晚近科學成功的方法，有許多共同之處。（伯特，1994，p57）

本篇旨在藉他的行星面積定律，簡要地來呈現其開拓性方法與貢獻。

二、哥白尼的日心說－不在精確，而在簡單

克卜勒與伽利略兩人，皆承認哥白尼（N. Copernicus，1473-1543）為他倆的導師。哥白尼所提的日心說，到底給了下一代的這兩位學子，什麼啟示呢？哥白尼說：

托勒密（Ptolemy）及多數的天文學者的行星理論，雖然與數據符合一致，看起來也未出現什麼困難。但這理論是不合適的，除非他所言的偏心點(equants)確實可被觀察到。他的理論顯示，行星並非以均勻的速度環繞著均輪(deferent)圓心，亦未以等速環繞著本輪(epicycle)圓心。所以，這種系統既非完全地絕對，也無法充分地讓心靈愉悅。 (Hence a system of this sort seemed neither sufficiently absolute nor sufficiently pleasing to the mind.)（Copernicus，1971）

所以，對哥白尼而言，他並非是要提出一更符合觀察數據的理論，而是因他不滿意托勒密理論中，加入了太多人為的「偏心點、均輪、本輪」之概念，而喪失了「均勻性、對稱性、簡單性、與完美性」（哥白尼，1543；伯特，1994；姚珩和黃秋瑞，2003）。

事實上，縱使在今天，利用托勒密方法，仍然可以準確計算出火星逆行的軌跡，並與觀測值相當吻合（如圖 1）。

既然，兩個理論所建立的模型，皆可描述自然現象，但在當時，地動說卻得面臨極大的困擾。那就是：地球若在快速自轉的話，為何天上的白雲與飛鳥，不會被遠遠地拋在後方（Koyre，1978）? 在尚未能解決此問題的時候，為什麼克卜勒是第一位挺身而出，接受、深究哥白尼的理論，並加以發展，終身奉行不渝呢？因為，他認為既

數學…可呈現論證的有序本性，而與整體…相互呼應，…所藉用之簡單的…形式及要素，…是透過對稱性與規則性，緊密地被結合在一起。（Kepler，1619，p7）

也就是說，克卜勒與哥白尼相信“凡在數學上能夠呈現出對稱、和諧與簡單性質的理論，則此理論必為真＂（伯特，1994，p52）。至於相關的物理或哲學詮釋，則可待以後再繼續探討、追究。這種不是以哲學的目的論—地球為宇宙的中心，人類靈魂的最終歸宿，是自地球經過月下區、行星層、最後抵達恒星界背後神所居住之處－為天文學的指導，而是完全以數學做為天文學的基礎與指標，開創了全新的科學世界（羅伊德，1984；Duhem，1985）。

三、行星基本運動定律－距離規則

克卜勒完全沿襲哥白尼以數學為最高指導的原則，開啟了天文史上的新研究方法，他的新天文學拋棄了近一千五百多年來所沿用的托勒密理論，而採用了不被多數人所接受的哥白尼模型。但他也沒完全依賴哥白尼的智力權威，他花了五年多的時間，証明出太陽並非如哥白尼所言，是在行星軌道的圓心上，而是在偏心點上。且宇宙的中心不是在各個 行 星軌道的圓心，而是在太陽上（Kepler，1596）。他說：

若隨著行星至宇宙中心(太陽)之距離增減，而形成行星的緩慢與迅速，則運動力之來源必定是落在我們所認為宇宙的中心點上。（Koyre，1992，p196）

如圖 2，行星是以等角速率繞著偏心點 C點，運行於以 B 點為圓心之軌道 DFEG 上，而太陽是在另一偏心點 A 點上（AB=BC）。HK 弧長（正比於 ∠HCK ）即行星運行 DF弧長的所需花費的時間；同理 IL 弧長（正比於 ∠ICL ）則可表示行星運行 EG 長度所需耗費的時間。經過仔細地推導，他得出了行星運動的基礎原理－距離規則（distance rule）：

“行星在行星遠日點與近日點處，行經（HK 或 IL）與行星至太陽的距離（AD 或 AE）成正比。 （Stephenson，1987，p64）

 

此原理是克卜勒行星定律的基礎，利用此規則，克卜勒於 1605 年同時得到了橢圓定律及面積定律（如圖 3）（姚珩和黃秋瑞，2003；Kepler，1609；Wilson，1968）。底下將簡單介紹，他是如何利用距離規則，導出面積定律。

四、距離規則與面積定律

當克卜勒提出距離規則時，事實上這已經等價於面積定律了，因行星與太陽的連線 R，在甚短的 dt 時間內劃出弧長 dC，與面積 dA，如圖 4。則面積可近似為：

 

dA = 1/2 ⋅ R ⋅ dC 或 dA / dt = 1/ 2 ⋅ R ⋅ dC / dt 根據距離規則，速率 dC/dt 與R 成反比，故dA/dt =定值，此即為面積定律。

但克卜勒當時並不知極限與微分觀念，故他自然不是由此簡短步驟得到行星第二定律。

五、橢圓方程式

在新天文學（Kepler，1609）第 59 章裡，克卜勒引用了 Apollonius 之圓錐曲線著作，先列出了一些有關圓 AKEC 與橢圓 AMBC（如圖 3）之定理或命題：

 

命題 1：ML：KL ＝ b：a，此處 a 與 b 為半長軸與半短軸長

命題 3：橢圓 AMN 面積：扇形 AKN 面積＝b：a

命題 7：在含焦點 N 之直角三角形，半長軸 a 、半短軸 b 與 離 心 率 之關係為a² − b² = a²e² 或 1 − b² = e²

命題 9：自遠日點 A 起，經圓弧至 K 為止，所含徑向距離(radial distance)KT 長之和，與圓面積 AKN 成比例。

為避免如克卜 勒 所使用的繁雜運算，我們以微積分加以簡化闡述。自A 點到 K 點，所含蓋之所有徑向距離KT 長之和，為

 

此 處 β = ∠AHM 為 離 心 偏 角 (eccentric anomaly)，若 HA＝1，HN＝e，圓面積＝ π ，則面積

AKN = AKH + KHN

= ( β/2π )(π) +1/2 ⋅ HN ⋅ KL

= 1/2(β + esin β )

此面積值恰為徑向距離和之一半。故徑向距離之和，可以橢圓之外接圓之對應面積來表示（Aiton，1969，p84）。

命題 11：徑向距離 KT＝焦點 N 至橢圓上 M 點之連線長 NM。

因

KN² − NM²

= (KL² + LN² ) − (ML² + LN² )

= KL² − ML²

= sin² β − b² sin²β （命題 1）

= (1− b² ) sin²β = e² sin²β （命題 7）

即 KN ² − e² sin² β = NM²

但

KN² − e² sin² β = KN² − NT² = KT²

⇒ NM = KT = 1 + e cos β

故 KT = NM 。

不僅如此，橢圓上之任一點 M，至焦點 N 之長度 r，滿足底下關係式：

r = 1 + e cos β 。

這就是今天，我們所使用的橢圓方程式。它表示了行星橢圓軌跡，可以底下方法來描繪決定（如圖 3）：

1. 任取圓上一點 K，自 K 引垂直線至 AC 軸，交 AC 於 L。
2. 以直線連接 K 與圓心 H，並延長至 J。
3. 自太陽 N 處引垂直線，交 KJ 於 T。
4. 以 N 為圓心，KT 長為半徑，劃弧，交 KL於 M，則 M 即為行星橢圓路徑上之點。

在命題 11 之推導裡，很清楚地可看出，克卜勒已使用行星火星至太陽的距離 r，離心率 e，及離心偏角â，三者間之等量關係： r = 1 + e cos β，其中 e 為定數，r 與 β 為變數。這些很明顯的是受了法國數學家 Vieta （1540-1603）的影響，於 1590 年，他是第一位真正地以字母符號來代表一未知量的科學家，他的這種高度之抽象化、普遍化的觀念，被視為數學發展上最重要的里程碑之一（Bell，1945，p120）。克卜勒使用了此深刻概念，協助自己來描述天文運動，將傳統的幾何學內容，擴展變成代數的處理與表示。這種全新的呈現，在物理發展史上是第一次、也是第一人，要比伽利略所提出的落體關係早出許多。

六、面積定律

由命題 9 與 11，遂可得

命題 12：在橢圓內，所有焦點至橢圓上連線距離 NA、NM 之和與對應之正外接圓面積 AKN 成比例 。（由命題 3，也因此與橢圓面積 AMN 成比例。）

克卜勒在此把距離不時變化著的運動－橢圓，與傳統完美的幾何圖形－圓，連接了起來。也將含有物理內涵的距離規則，與底下具有均勻性的面積定律，建立起了特殊關係。

克卜勒最初所言的距離規則（如圖 2），可進一步延伸為：

在圓軌道不同位置上，如遠日點與近日點，行星運轉經過相同弧長所需的時間比，等於在對應弧段下，太陽至行星之 所有連線距離和之比 （The times needed to traverse equal arcs of the eccentric circle are proportional to the distances.）（Aiton，1969，p79）。

也就是，並非以單一距離長度來代表所費時間，而是以距離和來代表。此外，我們須了解，至此距離規則一直僅用在圓周軌道上。在發現行星之軌道不是圓後，為了要與觀察吻合，克卜勒在第 59 章裡將此規則，作了修正（如圖 5）：

 

行經對應相同圓弧長，如 PO、OQ、RS、ST，下的橢圓路徑，如 PC、CF、RG、GH，所花費的時間比，等於太陽至相對應橢圓區段上，行星之所有連線距離和之比。（The time is measured by the sum of the ellipse distances relating to equal divisions of the eccentric. ）（Aiton，1969，p86）

因此，最後由命題 12 與此修正之距離規則，便完成與得到了有名的行星第二定律：

命題 14（面積定律）：行經橢圓路徑 AM 上每一點至焦點之連線距離和，或所需花費的時間，可由橢圓面積 AMN 來表 示（如圖 3）。（ The sum of the distances for the ellipse path AM, and hence the time is measured by the ellipse area AMN.）（Aiton，1969，p87）

綜合以上，可簡言之，克卜勒是以底下程序，來建立其面積定律：

橢圓面積↔連線距離和↔行經橢圓路徑所需時間。

大約十年之後，克卜勒在哥白尼天文學序論（Kepler，1618）的著作裡，用了另一種較嚴謹的方法，描述了可用在橢圓軌道上之改良更新後的距離規則：

行星運轉所需時間，正比於它至太陽的距離，因各弧長在與徑向垂直方向上之分量均同。（The times or delays will be proportional to distance from the sun, for arcs whose component perpendicular to the radius from the sun are the same.）（Stephenson，1987，p163）

這是當所取面積相對小的時候，在橢圓軌道上，任一相等弧段，所對應之橢圓區域，或近似三角形裡之高度（或與徑向垂直方向上的分量）相等（如圖 6，意謂 PC＝CM＝RG＝GN）。所以由改良更新的距離規則，劃過此弧長所需的時間，與至太陽之距離成正比，因此，亦與含蓋此橢圓區域的面積成正比。即

t_PC ： t_CF ： t_RG ： t_GH

＝PA：CA：RA：GA

＝PCA：CFA：RGA：GHA

故以面積來代表時間是適當合理的。（Therefore， it is quite justifiable to take the area as a measure of the time.） （Aiton，1969，p87）

也就是說，面積是跟著時間穩定地在改變，或面積時變率恆定不變，這也保留下來了另一種之均勻性（uniformity）的要求，所以克卜勒視此定律為他最鍾愛之原理。

在上述的描寫中，已略可看出，克卜勒心中已漸浮現出無限小與積分之概念和方法了。亦即，他將足夠小的不同橢圓區域所劃過之弧長，近似為相等。他最後還曾如此提及：

行星與徑向垂直的速度分量，反比於它至太陽的距離。（The component of the velocity perpendicular to the radius vector is inversely proportional to the distance from the sun.） （Kepler， 1618；Aiton，1969）

這幾乎就是在預言第四節中所言：行星速率的垂直分量 dC/dt，與行星至太陽距離 R成反比。這種幾何與代數的合成方式，及背後所隱含的極限觀念，顯然已在天文學中，開啟了新的研究方法。

七、結論

克卜勒視太陽為宇宙之中心，但它不在諸行星軌道之圓心，而是在軌道的偏心點上；他並以太陽所發射之光芒與動力，是一切天體運動之成因，形成了行星運動的基本原理－距離規則。由此，不但得到了天文學上第一個新數學關係－橢圓的代數方程式 r = 1 + e cosϕ 。並以它來清晰地描述行星運動的軌跡，且再藉著鍥而不捨的運算、推導，創立了面積定律－太陽與行星連線所劃過的面積，其變化是均勻的。維持了哥白尼所期望的數學均勻性。

克卜勒的論證與運算，呈現出與托勒密完全不同的面貌，它不是用天文學來配合哲學的目的論，而是全部以數學方法，並僅在數學之中，及自數學推導出的相關動力學觀，來建立起天文體系。這種新方法，啟發了牛頓，及世世代代的眾多科學家，一直沿用至今。

參考文獻

1.伯特 (Burtt， E. 1994)：近代物理科學的形而上學基礎。成都市：四川教育出版社。

2.哥白尼 (Copernicus， N. [1543] 2001)：天體運行論。武漢市：陜西人民出版社。

3.姚珩、黃秋瑞 (2003)：克卜勒行星橢圓定律的初始內涵，科學教育月刊，第 256 期，第 33-45 頁。

4.羅伊德 (Lloyd， G. 1984)： 亞里斯多德思想的成長與結構。台北市：聯經出版社。

5.Aiton， E. J. (1969). Kepler’s second law of planetary motion. Isis， 60， 75-90.

6.Anagnostakis ，  C. (1984). The Arabic version of Ptolemy’s planisphaerium.Thesi’s (Ph.D.) ⎯Yale Univ.， Ann Arbor， Univ. Mich. Microfilms International.

7.Copernicus， N. (1971). Three Copernican treatises. New York: Octagon Books.

8.Duhem， P. (1985). To save the phenomena. Chicago， IL: University of Chicago.

9.Kepler， J. ([1596] 1981). The secret of the universe. New York: Abaris Books

10.Kepler， J. ([1609] 1992). New astronomy. New York: Cambridge University Press.

11.Kepler， J. ([1618-21] 1952). Epitome of Copernican astronomy: Books IV and V. Chicago， IL: Encyclopaedia Britannica.

12.Koyer， A. (1978). Galileo studies. Atlantic Highlands， NJ: Humanities Press.

13.Koyer ，  A. (1992). The astronomical revolution Copernicus-Kepler-Borelli. New York: Dover Publications， Inc.

14.Stephenson， B. (1987). Kepler’s physical astronomy. New York: Springer-Verlag Inc.

15.Wilson， C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis， 59， 5-25.

 

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